8.1 非负矩阵——不等式及其推广

设 $B = [b_{ij}]\in M_{n,r}$ 和 $A = [a_{ij}]\in M_{n,r}$ ，记

$B \geqslant 0$ ，如果所有 $b_{ij} \geqslant 0$

$B > 0$ ，如果所有 $b_{ij} > 0$

$A \geqslant B$ ，如果 $A - B \geqslant 0$

$A > B$ ，如果 $A - B > 0$

类似地可定义反向关系 $\leqslant$ 和 $<$ . 我们定义 $|A| = [|a_{ij}|]$ . 如果 $A \geqslant 0$ : 则称 $A$ 是非负矩阵, 又如果 $A > 0$ , 则称 $A$ 是正矩阵. 下列简单事实可直接由定义推出.

练习 设 $A, B \in M_{n,r}$ . 证明：

(8.1.1) $|A| \geqslant 0$ 对每个 $A$ 成立； $|A| = 0$ 当且仅当 $A = 0$ .
(8.1.2) $|aA| = |a||A|$ 对所有 $a \in \mathbf{C}$ 成立.
(8.1.3) $|A + B| \leqslant |A| + |B|$ .
(8.1.4) 如果 $A \geqslant 0$ 且 $A \neq 0$ , 则当 $n$ 或 $r$ 大于 1 时 $A > 0$ 不一定成立.
(8.1.5) 如果 $A \geqslant 0, B \geqslant 0$ ，且 $a, b \geqslant 0$ ，则 $aA + bB \geqslant 0$ .
(8.1.6) 如果 $A \geqslant B$ 且 $C \geqslant D$ , 则 $A + C \geqslant B + D$ .
(8.1.7) 如果 $A \geqslant B$ 且 $B \geqslant C$ , 则 $A \geqslant C$ .

练习 现在假定 $A, B, C, D \in M_{n}$ , 且 $x, y \in \mathbf{C}^{n}$ . 证明:

(8.1.8) $|Ax| \leqslant |A||x|$ .
(8.1.9) $|AB| \leqslant |A||B|$ .
(8.1.10) $|A^{m}| \leqslant |A|^{m}$ 对所有 $m = 1, 2, \cdots$ 成立.
(8.1.11) 如果 $0 \leqslant A \leqslant B$ 且 $0 \leqslant C \leqslant D$ , 则 $0 \leqslant AC \leqslant BD$ .
(8.1.12) 如果 $0 \leqslant A \leqslant B$ ，则 $0 \leqslant A^{m} \leqslant B^{m}$ 对所有 $m = 1, 2, \cdots$ 成立。
(8.1.13) 如果 $A \geqslant 0$ ，则 $A^{m} \geqslant 0$ ；如果 $A > 0$ ，则 $A^{m} > 0$ 对所有 $m = 1, 2, \cdots$ 成立。
(8.1.14) 如果 $A > 0, x \geqslant 0$ ，且 $x \neq 0$ ，则 $Ax > 0$ .
(8.1.15) 如果 $A \geqslant 0$ , $x > 0$ 且 $Ax = 0$ , 则 $A = 0$ .
(8.1.16) 如果 $|A| \leqslant |B|$ , 则 $\| A \|_2 \leqslant \| B \|_2$ .
(8.1.17) $\| A \|_2 = \| |A| \|_2$ .

显然，最后两个论断对任意绝对范数都成立，Frobenius 范数 $(l_{\circ}$ 范数）只是其中一个例子.这些简单关系首先可应用于关于谱半径的不等式.

8.1.18 定理 设 $A, B \in M_{n}$ . 如果 $|A| \leqslant B$ , 则 $\rho(A) \leqslant \rho(|A|) \leqslant \rho(B)$ .

证明：对每个 $m = 1,2,\dots$ ，根据(8.1.10)和(8.1.12)，有 $\mid A^m\mid \leqslant \mid A\mid^m\leqslant B^m$ ，因此，根据(8.1.16)和(8.1.17)，对所有 $m - 1,2,\dots$ ，不等式

$\| A^{m}\|_{2}\leqslant \| |A|^{m}\|_{2}\leqslant \| B^{m}\|_{2}$ 和 $\| A^m\|_2^{m_m}\leqslant \| |A|^m\|_2^{m_m}\leqslant \| B^m\|_2^{m_m}$ 成立，如果现在设 $m\to \infty$ 且运用(5.6.14)，便导出 $\rho (A)\leqslant \rho (|A|)\leqslant \rho (B).$

8.1.19 推论 设 $A, B \in M_{n}$ . 如果 $0 \leqslant A \leqslant B$ , 则 $\rho(A) \leqslant \rho(B)$ .

8.1.20 推论 设 $A \in M_{n}$ . 如果 $A \geqslant 0$ , 义如果 $\widetilde{A}$ 是 $A$ 的任一主子矩阵, 则 $\rho(\widetilde{A}) \leqslant \rho(A)$ . 特别是, $\max_{1, \ldots, n} a_{ij} \leqslant \rho(A)$ .

证明：设 $1 \leqslant r \leqslant n$ ，且设 $\widetilde{A}$ 是 $A$ 的 $r \times r$ 主子方阵。设 $\widetilde{A}$ 表示把 $\widetilde{A}$ 的各元排放在它们原来的位置（作为 $A$ 的元）而把 0 元放在其余位置所构成的 $n \times n$ 矩阵。于是 $\rho(\widetilde{A}) = \rho(\widetilde{A})$ 且 $0 \leqslant \widetilde{A} \leqslant A$ ，所以根据推论(8.1.9)可知， $\rho(\widetilde{A}) = \rho(\widetilde{A}) \leqslant P(A)$ □

491

对于一个不一定是Hermite矩阵的谱半径来说，上述推论中的下界 $a_{\nu}\leqslant \rho (A)$ 是得到的第一个非平凡下界，不过 $A$ 为非负的假定是本质的.

练习 试构造一个相似于 $\left[ \begin{array}{ll}0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right]$ 的矩阵，且不含零元。它的谱半径是什么？它是非负矩阵吗？关于推论(8.1.20)的后一部分，这说明什么问题？

练习 证明，如果 $A, B \in M_{n}$ ，且 $0 \leqslant A < B$ ，则 $\rho(A) < \rho(B)$ 。提示：存在某个 $\alpha > 1$ 使得 $0 \leqslant \Lambda \leqslant \alpha \Lambda < B$ 。如果 $\rho(A) \neq 0$ ，则从推论(8.1.19)可得出结论，如果 $\rho(A) = 0$ ，则把推论(8.1.20)应用于 $B$ 可得出结论。

因为我们马上就会有关于非负矩阵的谱半径的较好上界，定理(8.18)将用来求任意矩阵的谱半径的上界。

8.1.21 引理 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A \geqslant 0$ 。如果 $A$ 的各个行和是常数，则 $\rho(A) = |A|$ 。如果 $A$ 的各个列和是常数，则 $\rho(A) = |A|$ 。

证明：我们知道， $\rho(A) \leqslant \|A\|$ 对任意矩阵范数 $\| \cdot \|$ 成立，但是，如果各行和是常数，则 $x = [1, \cdots, 1]^t$ 是关于特征值 $\|A\|$ 的特征向量。把同样的论证应用于 $A^{\Gamma}$ 便得到关于列和的论断。

8.1.22 定理 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A \geqslant 0$ ，则

且

证明：设 $\alpha = \min_{\{i_1, i_2, i_3, i_4\}} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}$ ，然后构造新矩阵 $B$ ，使 $A \geqslant B \geqslant 0$ ，且 $\sum_{j=1}^{n} b_{ij} \equiv \alpha$ 对所有 $i = 1, 2, \cdots$ 成立。例如，如果 $\alpha = 0$ ，令 $B = 0$ ，又如果 $\alpha > 0$ ，可以令 $b_{ij} = \alpha a_{ij} (\sum_{j=1}^{n} a_{ij})^{\frac{1}{2}}$ 。根据引理(8.1.21)， $\rho(B) = \alpha$ ，又根据推论(8.1.19)， $\rho(B) \leqslant \rho(A)$ 。相应的上界易用类似的方法来证明。把行和界应用于 $A^T$ 便得到列和界。

练习 证明上述结果中关于上界的论断.

8.1.25 推论 设 $A \in M_{n}$ . 如果 $A \geqslant 0$ , 且对所有 $i = 1, 2, \dots, n$ 有 $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} > 0$ , 则 $\rho(A) > 0$ . 特别是, 如果 $A > 0$ , 或者如果 $A$ 是不可约非负矩阵, 则 $\rho(A) > 0$ .

练习 证明不可约矩阵不可能有零行或零列.

因为只要 $S$ 可逆就有 $\rho(S^{-1}AS) = \rho(A)$ ，所以可以引进某些自由参数来推广上述定理。如果 $S = \mathrm{diag}(x_1, \cdots, x_n)$ ，且所有 $x_i > 0$ ，则当 $A \geqslant 0$ 时 $S^{-1}AS \geqslant 0$ 。把定理(8.1.22)应用于 $S^{-1}AS = (a_{ij}x_jx_i)^{-1}$ ，便得到下述更一般的结果。

8.1.26 定理 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A \geqslant 0$ 。则对任意正向量 $x \in \mathbf{C}^{n}$ ，有

和

8.1.29 推论 设 $A \in M_n$ ， $x \in \mathbb{R}^n$ ，且假定 $A \geqslant 0$ 和 $x > 0$ 。如果 $\alpha, \beta \geqslant 0$ 使 $\alpha x \leqslant A x \leqslant \beta x$ ，则 $\alpha \leqslant \rho(A) \leqslant \beta$ 。如果 $\alpha x < A x$ ，则 $\alpha < \rho(A)$ ；如果 $A x < \beta x$ ，则 $\rho(A) < \beta$ 。

证明：如果 $\alpha x \leqslant Ax$ ，则 $\alpha \leqslant \min_{1 \leqslant i \leqslant n} x_i^{-1} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j$ 。由定理（8.1.26）得知 $\alpha \leqslant \rho(A)$ 。如果 $\alpha x < A x$ ，则有某个 $\alpha' > \alpha$ ，使得 $\alpha' x \leqslant A x$ 。在这种情形 $\rho(A) \geqslant \alpha' > \alpha$ ，所以 $\rho(A) > \alpha$ 。类似地可证明上界。

练习 完成推论(8.1.29)的证明.

8.1.30 推论 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A$ 非负。如果 $A$ 有正特征向量，则相应的特征值是 $\rho(A)$ ；即如果 $Ax = \lambda x$ 且 $x > 0$ 和 $A \geqslant 0$ ，则 $\lambda = \rho(A)$ 。

证明：如果 $x > 0$ 且 $Ax = \lambda x$ ，则 $\lambda \geqslant 0$ 且 $\lambda x \leqslant Ax \leqslant \lambda x$ 。另一方面，由推论(8.1.29)可知， $\lambda \leqslant \rho(A) \leqslant \lambda$ □

8.1.31 推论 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A$ 是非负矩阵。如果 $A$ 有正特征向量，则

练习 证明上述推论. 提示：在(8.1.27)中采用正特征向量.

8.1.33 推论 设 $A \in M_{n}$ ，且假定 $A$ 是非负矩阵。如果 $A$ 有正特征向量 $x$ ，则对所有 $m = 1$

492

2，…和所有 $i = 1$ ，…， $n$ ，有

其中 $A^{m} \equiv [a_{ij}^{(m)}]$ 。特别是，如果 $\rho(A) > 0$ ，则对 $m = 1, 2, \dots, [\rho(A)^{-1}A]^{m}$ 各元一致有界。

证明：如果 $Ax = \rho(A)x$ ，则 $A''x = \rho(A)''x$ 。如果 $A \geq 0$ ，则 $A'' \geq 0$ ，且有

对任意 $i = 1,2,\dots ,n$ 成立，因为 $x > 0$ ，所确定的上界可由除法得出．类似地有

对任意 $i = 1, \cdots, n$ 成立. 因为 $x > 0$ , 所确定的下界可由除法得出.

习题

1. 如果 $A \geqslant 0$ ，且对某个 $k$ ， $A^k > 0$ ，证明 $\rho(A) > 0$ .

2. 给出一个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ ，使得 $A \geqslant 0$ ， $A$ 不是正的，且 $A^2 > 0$ .

3. 假定 $A \geqslant 0$ ，且 $A \neq 0$ 。如果 $A$ 有正特征向量，证明 $\rho(A) > 0$ 。

4. 如果 $\rho(A) < 1$ ，我们知道，当 $m \to \infty$ 时 $A^{m} \to 0$ 。如果 $A \geqslant 0$ ，且 $A$ 有正特征向量，试用推论(8.1.33)证明， $|A^{m}| \leqslant \rho(A)^{m} C(A)$ 对所有 $m = 1, 2, \cdots$ 成立，其中 $C(A)$ 是常数矩阵。试考察 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ，说明 $A$ 有正特征向量的假定不能省略。试从推论(5.6.13)来讨论这两个结果。

5. 如果 $A \geqslant 0$ 有特征向量，证明 $A$ 相似于其各行和为常数的非负矩阵。这个常数是什么？提示：利用定理(8.1.26)前面的注释。

6. 我们将在(8.4)节证明，非负不可约矩阵必定有正特征向量。说明非负矩阵可以有正特征向量而且是可约的。

7. 设 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 是非负矩阵且有正特征向量 $x = [x_i]$ . 试用(8.1.33)证明,

(a) $\frac{1}{n} \rho(A)^m \left[ \begin{array}{l} \min x_k \\ \frac{1 - k - n}{\max x_k} \\ 1 - k - n \end{array} \right] \leqslant \max_{1 \leqslant p \leqslant n} a_{ip}^{(m)}$ 对每个 $i = 1, 2, \dots, n$ 成立；
(b) $\lim_{m\to \infty}\left[\sum_{p = 1}^{n}a_{tp}^{(m)}\right]^{1 - m} = \rho (A)$ 对每个 $i = 1,2,\dots ,n$ 成立.

对所有 $m = 1,2,\dots$ ，记 $A^{m} = [a_{ij}^{(m)}]$