0.10 基的变换

设 $V$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 维向量空间， $\mathcal{B}_1 = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 是 $V$ 的一个基。如果 $x \in V$ 是任一给定的向量，因为集合 $\mathcal{B}_1$ 张成 $V$ ，则 $x$ 有某个表示式 $x = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n$ 。如果在同一个基下存在另一个表达式 $x = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \dots + \beta_n v_n$ ，那么，

0 = x - x = \left(\alpha_ {1} - \beta_ {1}\right) v _ {1} + \left(\alpha_ {2} - \beta_ {2}\right) v _ {2} + \dots + \left(\alpha_ {n} - \beta_ {n}\right) v _ {n}

由基 $\beta_{1}$ 无关可知所有 $\alpha_{i} - \beta_{i} = 0$ ，给定基 $\beta_{1}$ ，从 $V$ 到 $\mathbf{F}^{n}$ 的线性映射

x \rightarrow [ x ] _ {s _ {1}} \equiv \left[\begin{array}{c}{\alpha_ {1}}\\{\alpha_ {2}}\\{\vdots}\\{\alpha_ {n}}\end{array}\right], \quad \text {其 中} x - \alpha_ {1} v _ {1} + \alpha_ {2} v _ {2} + \dots + \alpha_ {n} v _ {n}

是意义明确的、一对一的和到上的。纯量 $\alpha_{i}$ 称为 $x$ 关于基 $\mathcal{B}_1$ 的坐标，而列向量 $[x]_{\alpha_i}$ 是 $x$ 的唯一坐标表示。

设 $T: V \to V$ 是给定的线性变换。只要知道 $n$ 个向量 $Tv_{1}, Tv_{2}, \cdots, Tv_{n}$ ， $T$ 对任一 $r \in V$ 的作用就被确定了；这是因为任一 $x \in V$ 有唯一表示 $x = \alpha_{1}v_{1} + \cdots + \alpha_{n}v_{n}$ ，且由线性性质可知， $Tx = T(\alpha_{1}v_{1} + \cdots + \alpha_{n}v_{n}) = T(\alpha_{1}v_{1}) + \cdots + T(\alpha_{n}v_{n}) = \alpha_{1}Tx + \cdots + \alpha_{n}Tv$ 。因此，一旦知道 $[x]_{\alpha_{1}}$ ，就可以确定 $Tx$ 的值。

设 $\mathcal{B}_2 = \{w_1, w_2, \dots, w_n\}$ 是 $V$ 的另一个基，可能与 $\mathcal{B}_1$ 不同，并且假定 $T v_j$ 的 $\mathcal{B}_2$ 坐标表示是

\left[ T v _ {j} \right] _ {\lambda_ {2}} = \left[ \begin{array}{l} t _ {1}, \\ t _ {2}, \\ \vdots \\ t _ {n j} \end{array} \right], \quad j = 1, 2, \dots , n.

那么，对任 $\dots \in V$ ，有

\begin{array}{l} \left[ T r \right] _ {\hat {a} _ {2}} = \left[ \sum_ {j = 1} ^ {n} \alpha_ {j} T v _ {j} \right] _ {\hat {a} _ {2}} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \alpha_ {j} \left[ T v _ {j} \right] _ {\hat {a} _ {2}} \\ = \sum_ {j = 1} ^ {n} \alpha_ {j} \left[ \begin{array}{c} t _ {1 j} \\ t _ {2 j} \\ \vdots \\ t _ {m j} \end{array} \right] = \left| \begin{array}{c c c} \bar {t} _ {1 1} & \dots & t _ {1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t _ {n 1} & \dots & t _ {n n} \end{array} \right| \left| \begin{array}{c} \alpha_ {1} \\ \vdots \\ \alpha_ {n} \end{array} \right|. \\ \end{array}

$n \times n$ 阵列 $\left|t_{ij}\right|$ 依赖于 $T$ 和基 $\mathcal{B}_1$ 和 $\mathcal{B}_2$ 的选择，但不取决于 $x$ ，我们定义 $T$ 的 $\mathcal{B}_1 - \mathcal{B}_2$ 基表示为

\begin{array}{r l} \left[ T \right] _ {n _ {1}} - & \left[ \begin{array}{l l l} t _ {1 1} & \dots & t _ {n _ {1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t _ {1 n} & \dots & t _ {m l} \end{array} \right] = \left[ \left[ T v _ {1} \right] _ {n _ {2}} \dots \left[ T v _ {n} \right] _ {n _ {2}} \right]. \end{array}

已经证明，对任一 $x \in V$ ， $\left[Tx\right]_{x_2} - x_2\left[T\right]_{x_1}$ 实际上，为了给出 $T$ 的一个基表示， $B_2 = B_1$ 的情形是最常见的； $A_1 \subset T$ 称为 $T$ 的 $B_1$ 基表示。

考虑单位线性变换 $I: V \times V$ ，它定义为对所有 $x, I_x = x$ 。于是，对所有 $x \in V$ ，有

\left[ x \right] _ {A _ {2}} = [ I x ] _ {A _ {2}} = _ {A _ {2}} [ I ] _ {A _ {1}} [ x ] _ {A _ {1}} - _ {A _ {2}} [ I ] _ {A _ {1}} [ I x ] _ {A _ {1}} = _ {A _ {2}} [ I ] [ I ] _ {A _ {n}} [ x ] _ {A _ {n}}.

依次取 $x = w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ ，这个恒等式能计算出 $\mathbf{\Phi}_{\star_1}[\mathbf{I}]_{\star_1}\mathbf{\Phi}_{\star_1}[\mathbf{I}]_{\star_2}$ 的每一列，因而证明了

\left. _ {x _ {2}} [ I ] _ {x _ {1}} x _ {1} [ I ] _ {x _ {2}} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ (0) & & 1 \end{array} \right] = I. \right.

我们泛泛采用同一个记号 $I$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵和单位线性变换。如果从 $[x]_{x_1} = [I_x]_{x_2} = \cdots$ 开始作同样的计算，也会得出

\left[ I \right] _ {k _ {1}} \left. \left| I \right] _ {k _ {1}} - I \right.

因此，矩阵 $\mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_1}[I]_{\mathfrak{A}_1}$ 是矩阵 $\mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_1}[I]_{\mathfrak{A}_2}$ 的逆矩阵．如果记 $S = \mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_1}[I]_{\mathfrak{A}_2}$ ，那么 $S^{-1} = \mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_1}[I]_{\mathfrak{A}_2}$ ．于是，形如 $\mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_2}[I]_{\mathfrak{A}_2}$ 的每一个矩阵都是可逆的．反过来每…个可逆矩阵 $S = [s_1s_2\dots s_n]\in M_n(\mathbb{F})$ 对某个基 $\mathcal{B}$ 有形式 $\mathbf{\Phi}_{\mathfrak{A}_1}[I]_{\mathfrak{A}}$ ．可以把 $\mathcal{B}$ 看成是用 $[\bar{s}_1]_{\bar{s}_1} = s_1$ ， $i = 1,2,\dots,n$ 定义的向量组 $\{\vec{s}_1,\vec{s}_2,\dots,\vec{s}_n\}$ ．因为 $S$ 可逆，所以向量组 $\mathcal{B}$ 无关.

注意到

\left[ I \right] _ {A _ {1}} = \left[ \left[ I v _ {1} \right] _ {A _ {2}} \dots \left[ I v _ {n} \right] _ {A _ {2}} \right] = \left[ \left[ v _ {1} \right] _ {A _ {2}} \dots \left[ v _ {n} \right] _ {A _ {2}} \right],

于是， $\mathbf{\Phi}_{\mathcal{B}_2}[I]_{\mathcal{B}_1}$ 用基 $\mathcal{B}_2$ 表示基 $\mathcal{B}_1$ 的各个元素。现在 $x \in V$ ，经计算

\begin{array}{l} \left[ T \right] _ {x _ {2}} [ x ] _ {x _ {2}} = \left[ T x \right] _ {x _ {2}} = \left[ I (T x) \right] _ {x _ {2}} = _ {x _ {2}} \left[ I \right] _ {x _ {1}} \left[ T x \right] _ {x _ {1}} \\ = _ {x _ {1}} [ I ] _ {x _ {1}} x _ {1} [ T ] _ {x _ {1}} [ x ] _ {x _ {1}} = _ {x _ {2}} [ I ] _ {x _ {1}} x _ {1} [ T ] _ {x _ {1}} [ I x ] _ {x _ {1}} \\ = _ {A _ {2}} [ I ] [ T ] [ I ] _ {A _ {2}} [ x ] _ {A _ {2}}. \\ \end{array}

依次取 $x = w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}$ ，便得出

\left[ T \right] _ {s _ {2}} = s _ {v} \left[ I \right] _ {s _ {1}} s _ {1} \left[ T \right] _ {s _ {1}} s _ {1} \left[ I \right] _ {s _ {2}}.

这个恒等式说明，如果用来计算表示的基发生变化， $T$ 的基表示将如何变化。由于这个缘故，才称矩阵 $\mathbf{z}_{\alpha} \left[ I \right]_{\alpha}$ 为基 $\mathcal{B}_1 - \mathcal{B}_2$ 的变换矩阵。

任一矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 是某个线性变换 $T: V \to V$ 的一个基表示，这是因为，如果 $\mathcal{B}$ 是 $V$ 的任一基，可以用 $[Tx]_{\pi} = A[x]_{\pi}$ 来确定 $Tx$ 。不难算出，对这个 $T$ ， $[T]_{\pi} = A$ 。

0.10_基的变换

0.10 基的变换