5.3 向量范数的代数性质

从任意一个或几个给定的范数出发可以用多种方式来构造一些新的范数。例如，容易证明，两个向量(半)范数的和是一个向量(半)范数，一个向量(半)范数的任意正数倍又是一个(半)范数。按另一种方式也不难证明，如果 $\| \cdot \|_{\alpha}$ 和 $\| \cdot \|_{\beta}$ 是向量范数，则由 $\| x \| \equiv \max \{ \| x \|_{\alpha}, \| x \|_{\beta} \}$ 定义的函数 $\| \cdot \|$ 也是向量范数。这些论断都是下述结果的特殊情形。

5.3.1 定理 如果 $\| \cdot \|_{\alpha_1}, \dots, \| \cdot \|_{\alpha_n}$ 是域 $\mathbf{F}(\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ )上的向量空间 $V$ 上的向量范数，又设 $\| \cdot \|_{\beta}$ 是 $\mathbf{R}^m$ 上的向量范数，使得对具有非负分量的所有 $y, z \in \mathbf{R}^m$ 都有 $\| y \|_{\beta} \leqslant \| y + z \|_{\beta}$ ，则由 $\| x \| \equiv \| [ \| x \|_{\alpha_1}, \dots, \| x \|_{\alpha_m}]^T \|_{\beta}$ 定义的函数 $\| \cdot \|$ ： $V \to \mathbf{R}$ 是 $V$ 上的向量范数。

定理中关于范数 $\| \cdot \|_{\beta}$ 的单调性假设可确保所构造的函数 $\| \cdot \|$ 满足三角不等式。所有的 $l_{p}$ 范数都具有单调性这一性质， $\mathbf{R}^{m}$ 上的任一向量范数 $\| x \|_{p}$ 倘若只是 $x$ 的分量的绝对值的函数，该范数也具有单调性这一性质；见(5.5.9和5.5.10)。但是，有一些向量范数不具有这一性质。

练习 证明定理(5.3.1).

练习 证明两个向量范数的和或取极大仍是向量范数的事实是定理(5.3.1)的特殊情形。关于取极小又如何？

练习 设 $m = 2$ ， $V = \mathbb{R}^2$ 且 $\|x\|_{\beta} - |x_1 - x_2| + |x_2|$ 。证明， $\| \cdot \|_{\beta}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的向量范数，但函数 $\|x\| \equiv \left\{\|x\|_{\beta}, \|x\|_{1}\right\}^{T}\|_{\beta} = \min \{|x_1|, |x_2|\} + |x_1| + |x_2|$ 不是向量范数。 $\|\cdot\|$ 满足哪几个向量范数公理？提示：考察 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ， $\|x + y\|$ ， $\|x\|$ 以及 $\|y\|$ 。这与(5.3.1)矛盾吗？

从旧范数构造新范数的另一种方式是由下面的结果给出的.

5.3.2 定理 如果 $\| \cdot \|$ 是 $C^n$ 上的向量范数，又如果 $T \in M_n$ 是非奇异矩阵，则由

定义的 $\| \cdot \|_{\mathrm{r}}$ 也是 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数.

练习 证明(5.3.2).

练习 在(5.3.2)中如果 $T$ 是奇异矩阵，结果有何变化？

练习 为什么 $\| x\| = (|2x_1 - 3x_2|^2 + |x_2|^2)^{1/2}$ ——定是 $\mathbf{C}^2$ 上的范数.（请不用计算！）

利用对偶的概念可以从旧范数构造新范数。这种方法在(5.4)节末讨论。

习题

1. 如果 $\| \cdot \|$ 是向量半范数，证明，对任意 $T \in M_n$ ， $\| x \|_T \equiv \| Tx \|$ 也是向量半范数。如果 $\| \cdot \|$ 是向量范数，则 $\| \cdot \|_T$ 是向量半范数，它的零空间就是 $T$ 的零空间。

2. 证明，任何向量半范数都具有形式 $\| \cdot \|_{T}$ 其中， $\| \cdot \|$ 是某个向量范数，而 $T \in M_{n}$ 是某个矩阵。