7.8 关于正定矩阵的不等式

下面，要讨论这样一些不等式，它们所涉及的量与一个或多个正定矩阵相关联。这些不等式与上一节所介绍的不等式是有区别的，尽管关于前者的一些例子与关于后者的一些例子常常是有联系的。例如， $A \geqslant B \geqslant 0$ 蕴涵 $\det A \geqslant \det B$ 。正定矩阵有一些涉及行列式，特征值和其他量的不等式。在这一节，我们考察某些不等式，它们不一定来自矩阵不等式。

关于正定矩阵的基本行列式不等式是Hadamard不等式，许多其他的不等式用不同的方式推广了这一结果.

7.8.1 定理（Hadamard 不等式）如果 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 是半正定矩阵，则

\det A \leqslant \prod_ {i} ^ {n} a _ {n}.

此外，如果 $A$ 是正定矩阵，则等式成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵。

证明：如果 $A$ 是奇异矩阵，就没有什么可证的，因此假定 $A$ 是非奇异矩阵且它的所有 $a_{ii} \neq 0$ 。定义 $d_i \equiv a_n^{-1/2}$ ，且设 $D = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ 。因为 $\det DAD \leqslant 1$ 当且仅当 $\det A \leqslant a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$ ，所以只要假定 $A$ 的每个对角元等于 1 就可以了。如果 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是 $A$ 的（必定为正的）特征值，则有

\det A = \prod_ {i = 1} ^ {n} \lambda_ {i} \leqslant \left(\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \lambda_ {i}\right) ^ {n} = \left(\frac {1}{n} \operatorname {t r} A\right) ^ {n} = 1

这个不等式可从关于非负实数的算术几何平均值不等式推出。算术一几何平均值不等式中等式成立当且仅当所有 $\lambda_i = 1$ ，但是，因为 $A$ 是Hermite矩阵，因而可对角化，所以，这种情况能出现，当且仅当 $A = I$ 。因此，当 $A$ 是正定矩阵时，在原不等式中等式成立当且仅当 $A$ 是对角矩阵。

关于一般方阵的另一个行列式不等式等价于(7.8.1)，它也叫做Hadamard不等式．几何上 $|\det A|$ 是 $\pmb{n}$ 维平行六面体的体积，它的各生成边是由 $A$ 的各行(或各列)给出的．当各生成边相互正交时，这个体积最大，而这时其体积是各边长的乘积．Hadamard不等式是这个几何不等式的代数描述.

7.8.2 推论（Hadamard 不等式）对于任意矩阵 $B = [b_{ij}] \in M_n$ ，有

\mid \det B \mid \leqslant \prod_ {i = 1} ^ {n} \left(\sum_ {j} ^ {n} \mid b _ {i j} \mid^ {2}\right) ^ {1 ^ {\prime} 2}

和

\mid \det B \mid \leqslant \prod_ {j = 1} ^ {n} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \mid b _ {i}, \mid^ {2}\right) ^ {1 / 2}.

此外，等式成立当且仅当 $B$ 的各行（相应地，各列）相互正交

证明：如果 $B$ 是奇异矩阵，那就没有什么要证的。如果 $B$ 是非奇异矩阵，把(7.8.1)应用正定矩阵 $A \equiv BB^{*}$ ，然后取方根。第一个不等式右边是 $A$ 的各对角元的乘积的方根，而左边是 $\det A$ 的方根。当 $A$ 是对角矩阵时，即在(7.8.1)中等式成立的情形恰好 $B$ 的各行互相正交。把第一个不等式应用于 $B^{*}$ 便可推出第二个不等式。

练习我们已经从(7.8.1)推导出(7.8.2). 现在证明(7.8.1)可由(7.8.2)推出. 提示: 如果 $A$ 是正定矩阵, 则存在唯一的正定矩阵 $B$ 使 $B^{2} = A$ . 把(7.8.2)应用于 $B$ 和它的平方.

练习你能利用Hadamard不等式(及其变形)给出

\det \left[ \begin{array}{r r r} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array} \right]

的最大界吗？

对关于正定矩阵的 Hadamard 不等式作出改进的两个推广应归功于 Fischer 和 Szasz. 在 Fischer 不等式中, 4 余主子矩阵所起的作用相当于对角元在 Hadamard 不等式中所起的作用.

7.8.3 定理(Fischer不等式）假定

P = \left[ \begin{array}{c c} A & B \\ B ^ {*} & C \end{array} \right]

是正定矩阵，其中子块 $A$ 和 $C$ 是非空方阵（参看本节14题）。则

\det P \leqslant (\det A) (\det C)

证明：设 $X = -A^{-1}B$ ，然后算出

\begin{array}{l} \det P = \det \left[ \begin{array}{l l} I & 0 \\ X ^ {*} & I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} A & B \\ B ^ {*} & C \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} I & X \\ 0 & I \end{array} \right] = \det \left[ \begin{array}{l l} A & 0 \\ 0 & C - B ^ {*} A ^ {- 1} B \end{array} \right] \\ = (\det A) (\det [ C - B ^ {*} A ^ {- 1} B ]) \leqslant (\det A) (\det C) \\ \end{array}

后一不等式用到了(7.7.6)和(7.7.4b)以确保 $\operatorname{det} C \geqslant \operatorname{det}(C - B^{*}A^{-1}B)$ ，这是因为， $C \geqslant C - B^{*}A^{-1}B \geqslant 0$ . □

练习试从 Fischer 不等式推导出 Hadamard 不等式 (7.8.1)。同时，试对于比 (7.8.3) 中的分块（两个主子矩阵）要细但又不如 (7.8.1) 中分块（ $n$ 个主子矩阵）那么细的 $P$ 的分块，提出并叙述 Fischer 不等式。注意，在这种情形，Fischer 不等式的右边小于或等于 Hadamard 不等式的右边。因此，关于加细的各种分块的 Fischer 不等式给出关于 $\det P$ 的上界的一个单调不减序列。

存在另一种不等式，它给出关于行列式的一系列上界，且包括Hadamard上界。设 $P_{k}(A)$ 表示 $A$ 的所有 $k \times k$ 主子式 $\left[\text{共有} \binom{n}{k}\right]$ 个的乘积。我们注意到， $P_{n}(A)=\det A$ ，而 $P_{1}(A)=a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$ 。

7.8.4 定理（Szasz 不等式）如果 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，则对所有 $k = 1, 2, \dots, n - 1$ 有

P _ {k + 1} (A) ^ {\binom {n - 1} {k} - 1} \leqslant P _ {k} (A) ^ {\binom {n - 1} {k - 1}}

证明：因为 $A$ 的各对角元正好是 $A$ 的各 $(n - 1) \times (n - 1)$ 主子式与 $\det A$ 之比，把(7.8.1)直接应用于正定矩阵 $A^{-1}$ 便推出

\frac {1}{\det A} = \det A ^ {1} \leqslant \frac {P _ {n - 1} (A)}{(\det A) ^ {n}},

因而

P _ {n} (A) ^ {n - 1} = (\det A) ^ {n - 1} \leqslant P _ {n - 1} (A).

对这个不等式的两边取 $(n - 1)$ 次方根便得出 Szasz 不等式组中 $k = n - 1$ 的情形。余下情形可以归纳地导出，例如，对于 $k = n - 2$ 的情形，我们把每个 $(n - 1) \times (n - 1)$ 主子矩阵看作一个起始矩阵，然后应用上面的不等式得到

P _ {n - 1} (A) ^ {n - 2} \leqslant P _ {n - 2} (A) ^ {2}

因为 $A$ 的每个 $(n - 2) \times (n - 2)$ 主子矩阵作为 $A$ 的某个 $(n - 1) \times (n - 1)$ 主子矩阵的主子矩阵出现两次。对两边取 $(n - 1)(n - 2)$ 次方根得 $k = n - 2$ 的情形，而余下的情形可用同样的方式推出。

练习证明 Szasz 不等式蕴涵 Hadamard 不等式 (7.8.1). 其中等式的情形是什么?

7.8.5 论断设 $A \in M_{n}$ 是半正定矩阵，且定义

\alpha (A) \equiv \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\det A}{\det A _ {1 1}}, \text {如 果} A _ {1 1} \text {是 正 定 矩 阵}; \\ 0, \text {否 则}; \end{array} \right.

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其中 $A_{11}$ 是划去 $A$ 的第 1 行和第 1 列而得的 $A$ 的 $(n - 1) \times (n - 1)$ 主子矩阵。设 $E_{11} \in M_n$ 是其 1.1 元为 1，而所有其余元为 0 的矩阵，则对所有 $t \leqslant \alpha(A)$ ， $A - tE_{11}$ 是半正定矩阵，而对任意 $t > \alpha(A)$ ， $A - tE_{11}$ 不是半正定矩阵；特别是， $A - \alpha(A)E_{11}$ 是半正定矩阵。

证明：只要考虑 $A$ 是正定阵的情形即可，将(7.2.5)应用于各“尾随”主子式。注意到 $A - tE_{11}$ 的前 $n - 1$ 个尾随主子式与 $A$ 的相同，且 $\det(A - tE_{11}) = \det A - t\det A_{11}$ □

练习给出(7.8.5)的证明细节.

练习试用(7.8.5)归纳证明Hadamard不等式(7.8.1).

Hadamard 不等式 (7.8.1) 也可以用 Hadamard 乘积叙述为

(\det A) \prod_ {i = 1} ^ {n} 1 \leqslant \det A \circ I.

下述定理是 Oppenheim 的不等式（被 Schur 强化了），它说明在上述不等式中单位矩阵的作用没有什么特殊的，从而推广了 Hadamard 不等式。

7.8.6 定理((ppenheim 不等式) 如果 $A, B \in M_{n}$ 是半正定矩阵, 则

(\det A) \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {n} \leqslant \det A \circ B.

证明：我们对 $n$ 采用归纳法，对 $n = 1$ ，结论是明显的．如果 $n \geqslant 2$ ，且对阶数至多为 $n - 1$ 的所有矩阵，结论成立，则由归纳假设可知

(\det A _ {1 1}) \prod_ {n = 2} ^ {n} b _ {n} \leqslant \det A _ {1 1} \wedge B _ {1 1},

其中的记号与(7.8.5)中相同，注意 $A_{11} \circ B_{11} = (A \circ B)_{11}$ 。因为 $A - \alpha E_{11}$ 是半正定矩阵，由此得知 $(A - \alpha E_{11}) \circ B$ 是半正定矩阵，因而

0 \leqslant \det (A - \alpha E _ {1 1}) \circ B = (\det A \circ B) - \alpha b _ {1 1} (\det A _ {1 1} \circ B _ {1 1}).

由此可推出

\det A \circ B \geqslant a b _ {1 1} \det A _ {1 1} \circ B _ {1 1} \geqslant a b _ {1 1} (\det A _ {1 1}) \prod_ {i = 2} ^ {n} b _ {i} = (\det A) \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {n}.

练习如果 $A, B \in M_{n}$ 是正定矩阵，证明，

(\det A) (\det B) \leqslant \det A \circ B

进而证明

(\det A) (\det B) \leqslant (\det A) \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {i} \leqslant \det A \circ B \leqslant \prod_ {r - 1} ^ {n} a _ {n} \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {n}.

练习如果 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，证明 $\det A \circ A \geqslant 1$

一种类型不同的行列式不等式适应于其 $H(A)$ 是正定矩阵的非Hermite矩阵A. 它可以看作关于复数的不等式 $\mid z\mid \geqslant \mid \operatorname {Re}z\mid$ 的推广.

7.8.7 定理（Ostrowski-Taussky）如果 $A \in M_{n}$ 使 $H(A) \equiv (A + A^{*}) / 2$ 为正定矩阵，则

\det H (A) \leqslant | \det A |.

等式成立当且仅当 $\Lambda$ 是Hermite矩阵.

证明：设 $S(A) = (A - A^{\prime}) / 2$ ，因而 $A = H(\Lambda) + S(A)$ ，于是所要证的不等式可述为

\left| \det \left[ I + H (A) ^ {- 1} S (A) \right] \right| \geqslant 1.

但是 $H(A)^{\prime}S(A)$ 相似于斜Hermite矩阵

H (A) ^ {1 ^ {\prime} 2} S (A) H (A) ^ {- 1 ^ {\prime} 2},

因而它只有纯虚特征值。因此只要注意到 $|1 + it| \geqslant 1$ 对任意实数 $t$ 成立就可以了。如果 $it_1, it_2, \dots, it_n$ 是 $II(A)^{-1}S(A)$ 的特征值，则

\left| \det \left[ I + H (\Lambda) ^ {- 1} S (A) \right] \right| = \prod_ {j = 1} ^ {n} | 1 + i t _ {j} | \geqslant 1.

另外，等式成立当且仅当所有 $t_j = 0$ ，它等价于 $S(A) = 0$ ，这是因为斜Hermite矩阵是可对角化的. □

含有两个正定矩阵之和的重要行列式不等式属于Minkowski. 它的证明与上述结果类似.

7.8.8 定理 (Minkowski 不等式) 如果 $A, B \in M_{n}$ 是正定矩阵, 则

\left[ \det (A + B) \right] ^ {1 ^ {\prime} n} \geqslant \left(\det A\right) ^ {1, n} + (\det B) ^ {1 ^ {\prime} n}.

证明：注意到所要证的不等式的两边是同次齐次的，用 $(\det A^{1,2})^{1 / n}$ 乘其左边和右边。于是，不失一般性，可以假定 $A = I$ ，且必须证明

\left[ \det (I + B) \right] ^ {1 / n} \geqslant 1 + (\det B) ^ {1 / n}.

如果 $0 < \lambda_1 \leqslant \dots \leqslant \lambda_n$ 是 $B$ 的特征值，则所要证的不等式等价于

\prod_ {1} ^ {n} \left(1 + \lambda_ {r}\right) \geqslant \left(1 + \sqrt [ n ]{\lambda_ {1} \cdots \lambda_ {n}}\right) ^ {n},

只要直接计算不等式两边，然后用算术-几何平均值不等式逐项进行比较便可证明这个不等式.

练习给出(7.8.8)的证明细节，并且证明等式成立当且仅当 $B = cA$ 对某个 $c \geqslant 0$ 成立。习题

不等式(7.8.2)说明，行列式的大小可以用其各行的 $l_{2}$ 范数的乘积来估计。试把它同如下结果[见(6.1)节习题3]作一比较：行列式的大小可以用其各行的 $l_{1}$ 范数的乘积来估计。几何上，这每一个界表示什么？还有其他这样的界吗？试一试 $l_{\sim}$ 。
2.(7.8.2)的左边在 $B$ 的左酉乘法下不变，而(7.8.1)的左边在 $A$ 的西相似下不变，但是，两者的右边都无相应的不变性。什么时候两个右边达到极小？什么时候它们达到极大？能用这种方式得到较好的界吗？
试用Fischer不等式验证Hadamard不等式(7.8.2)的下述分块形式的推广：设 $A = \lceil A_{ij}\rceil$ 是 $nk\times nk$ 分块复矩阵，使得每个子块 $A_{ij}\in M_k$ ，于是

\left| \det A \right| \leqslant \left[ \prod_ {i = 1} ^ {n} \left(\sum_ {j = 1} ^ {n} \| A _ {i j} \| _ {2} ^ {2}\right) ^ {1. 2} \right] ^ {k}.

除了这里所采用的谱范数以外，还可以用其他矩阵范数吗？

试确定(7.8.6)中相等的情形.
设 $A, B \in M_{n}$ 是正定矩阵，试证

\det A \circ B + (\det A) (\det B) \geqslant (\det A) \prod_ {r = 1} ^ {n} b _ {n} + (\det B) \sum_ {\tau = 1} ^ {n} a _ {n}.

说明这强化了(7.8.6). 提示：证明

\alpha (A \circ B) \geqslant \alpha (A) b _ {1 1} + \alpha (B) a _ {1 1} - \alpha (A) \alpha (B),

然后把它应用于普通的归纳假设.

证明，可以进一步扩展上一个习题中的不等式得到下述不等式

\begin{array}{l} \det A \circ B + (\det A) (\det B) \frac {\det A _ {1 1} \circ B _ {1 1}}{(\det A _ {1 1}) (\det B _ {1 1})} \\ \geqslant (\det A) \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {n} + (\det B) \prod_ {i = 1} ^ {n} a _ {n} + (\det A) b _ {1 1} (\det B _ {1 1}) \left(\frac {a _ {2 2} \cdots a _ {m n}}{\det A _ {1 1}} - 1\right) \\ + \left[ \det (B) a _ {1 1} (\det A _ {1 1}) \left(\frac {b _ {2 2} \cdots b _ {n n}}{\det B _ {1 1}} - 1\right) \right]. \\ \end{array}

如果 $A \in M_{n}$ 有正定 Hermite 部分 $H = (A + A^{*}) / 2$ ，且 $n > 1$ ，证明(7.8.7)中的不等式可以强化为

\det H (A) + | \det S (A) | \leqslant | \det A |.

什么情形下可取等式？提示：你必须证明

\left| \det \left[ I + H ^ {1} (A) S (A) \right] \right| \geqslant 1 + \left| \det H (A) ^ {- 1} S (A) \right|,

这等价于有

\prod_ {j = 1} ^ {n} | 1 + i t, | \geqslant 1 + \prod_ {j = 1} ^ {n} | t,

证明

\begin{array}{l} \prod_ {j = 1} ^ {n} | 1 + i t, | ^ {2} = 1 + \sum_ {j = 1} ^ {n} t _ {j} ^ {2} + \dots + \prod_ {j = 1} ^ {n} t _ {j} ^ {2} \\ \geqslant 1 + n \prod_ {j = 1} ^ {n} t _ {j} + \left(\prod_ {j = 1} ^ {n} t _ {j}\right) ^ {2} \geqslant \left(1 + \prod_ {j = 1} ^ {n} | t _ {j} |\right) ^ {2}. \\ \end{array}

你可以进一步强化这个不等式吗？注意：所论证的不等式关于复数的一个自然形式应该是 $|z| \geqslant |\operatorname{Re} z| + |\operatorname{Im} z|$ ，而所论证的不等式可以看作它的推广；证明这个自然不等式不成立（因而假定 $n > 1$ ），由此可见要证的行列式不等式有点出乎意料之外。

如果 $A, B \in M_{n}$ 是正定矩阵，证明 $\det(A + B) \geqslant \det A + \det B$ .
试用Minkowski不等式证明Fischer不等式。提示：把Minkowski不等式应用于两个正定矩阵

\left[ \begin{array}{c c} {A} & {B} \\ {B ^ {*}} & {C} \end{array} \right] \quad \text {和} \quad \left[ \begin{array}{c c} {I} & {0} \\ {0} & {- I} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} {A} & {B} \\ {B ^ {*}} & {C} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} {I} & {0} \\ {0} & {- I} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} {A} & {- B} \\ {- B ^ {*}} & {C} \end{array} \right].

一个正定矩阵 $P \in M_{n}$ 可以分解成 $P = L L^{*}$ ，其中 $L$ 是只有正对角元的下三角矩阵(7.2.9). 试用这一事实证明 Fischer 不等式.
设 $A, B \in M_{n}$ 是半正定矩阵。如果 $A$ 和 $B$ 是非奇异的，证明 $A \circ B$ 是非奇异的（且是正定的）。如果 $A \circ B$ 是奇异的，证明 $A, B$ 至少有一个是奇异的。这与(7.5)节的不等式 rank

$\Lambda \circ B \leqslant (\operatorname{rank} A)(\operatorname{rank} B)$ 有何关系？

证明，如果 $A = [a_{ij}] \in M_3$ 是一个具有实元素的矩阵，且 $|a_{ij}| \leqslant 1$ ，则 $|\det A| \leqslant 3\sqrt{3}$ 。同时证明这个界是不能达到的。提示：

\frac {\partial}{\partial a _ {i j}} (\det A) = (- 1) ^ {i + 1} A _ {y} \quad \text {且} \quad \frac {\partial^ {2}}{\partial a _ {y} ^ {2}} (\det A) \equiv 0,

其中 $A_{ij}$ 是 $A$ 划去 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列的行列式。如果 $A_{ij} = 0$ ，则 $\det A$ 与 $a_{ij}$ 的值无关，因而 $a_{ij}$ 可取 $\pm 1$ 。如果 $A_{ij} \neq 0$ ，则当 $0 < a_{ij} < 1$ 时， $\det A$ 关于 $a_{ij}$ 没有极值。因此，在所有 $a_{ij} = \pm 1$ 的给定的约束内， $|\det A|$ 达到它的最大值。对于 $n = 3$ ，只有有限个这样的矩阵。一般地，对于 $n > 3$ ，其结果又如何？如果 $A$ 有复元素，则对解析函数应用最大值原理（最大模定理）证明，在集合 $\{A \in M_n$ ：所有 $\{a_{ij} \mid \leqslant 1\}$ 内部 $\| \det A \|$ 不可能有最大值。

如果 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 且 $K = \max \{|a_{ij}|\}$ ，试用 Hadamard 不等式证明， $|\det A| \geqslant K^n n^{n-2}$ 。
设 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，又设 $\alpha \subseteq N = \{1, \dots, n\}$ 是一个指标集。Fischer 不等式可以叙述为 $\det A \leqslant \det A(\alpha) \det A(\alpha')$ 。其中 $\alpha'$ 是 $\alpha$ 关于 $N$ 的补集。这个结果的一个推广常称为 Hadamard-Fischer 不等式，那就是

\det A (\alpha \bigcup \beta) \leqslant \frac {\det A (\alpha) \det A (\beta)}{\det A (\alpha \bigcap \beta)}, \tag {7.8.9}

它对正定Hermite矩阵 $A$ 和所有指标集 $\alpha, \beta \subseteq N$ 成立。通常规定 $\operatorname{det} A(\phi) \equiv 1$ 。试仅用Fischer不等式和(0.8.4)中的第二个公式证明 Hadamard-Fischer 不等式。提示：不失一般性，假定 $\alpha \cup \beta = N$ ，且把 Fisher 不等式应用于 $A^{-1}(\alpha' \cup \beta')$ 。然后把(0.8.4)应用于每个子式。

利用正定Hermite矩阵可以写成 $LL^{*}$ 且 $L$ 是非奇异下三角矩阵的事实(7.2.9)给出Hadamard-Fischer不等式(7.8.9)的直接证明。提示：假定 $1 \leqslant j < k < n$ ，不失一般性，假定 $\alpha = \{1, \dots, k\}$ 和 $\beta = \{1, \dots, j, k + 1, \dots, n\}$ ，然后考虑 $A$ 和 $L$ 的一个对应的 $3 \times 3$ 子块。
设 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，试用 Hadamard Fischer 不等式(7.8.9)证明

\det A \leqslant \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n - 1} \det A (\{i , i + 1 \})}{\prod_ {i = 2} ^ {n - 1} a _ {p}}.

设 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，证明

\det A \stackrel {\cdot} {=} \min \bigl \{\sum_ {i = 1} ^ {n} v _ {i} ^ {*} A v _ {i}: \{v _ {1}, \dots , v _ {n} \} \subset \mathbf {C} ^ {n} \text {是 标 准 正 交 组} \bigr \}.

提示：设 $V = [v_{1}\dots v_{n}]\in M_{n}$ 且把(7.8.1)应用于 $\widetilde{A}\equiv V\cdot AV.$

设 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，且设 $\{u_{1}, \cdots, u_{n}\} \subset \mathbf{C}^{n}$ 是标准正交组。试用习题 17 证明， $\{u_{1}, \cdots, u_{n}\}$ 是 $A$ 的特征向量且 $\{u_{1}^{\prime} A u_{1}, \cdots, u_{n}^{\prime} A u_{n}\}$ 是 $A$ 的相应特征值，当且仅当

\det A = \prod_ {i = 1} ^ {n} u _ {i} ^ {\prime} A u _ {i}.

如果 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，证明

$n(\det A)^{1^n} = \min \{\operatorname{tr} AB : B \in M_n \text{ 是正定矩阵且 } \det B = 1\}$ .

提示：记 $A = U\Lambda U^{*}$ ，其中， $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots ,\lambda_n)$ ，所有 $\lambda_{i} > 0$ ，且 $U\in M_{n}$ 是酉矩阵，于是 $\operatorname {tr}AB = \operatorname {tr}\Lambda (U^{\star}BU)$ ，然后利用算术一几何平均值不等式和Hadamard不等式(7.8.1)证明

\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \lambda_ {i} b _ {n} \geqslant \left(\prod_ {i = 1} ^ {n} \lambda_ {i} b _ {n}\right) ^ {1 ^ {n}} = \left(\det A \prod_ {i = 1} ^ {n} b _ {n}\right) ^ {1, n} \geqslant [ \det A ] ^ {1 ^ {n}},

且等式可以成立.

试用习题19中的拟线性化证明Minkowski不等式(7.8.8)
设 $A \in M_{n}$ 是半正定矩阵，且把 $A$ 写成分块形式如下：

\boldsymbol {A} = \left[ \begin{array}{l l} a _ {1 1} & x \\ x & \tilde {\boldsymbol {A}} \end{array} \right]

试用(4.1)节习题15中关于行列式的简化公式和(7.2)节习题11证明

\det A = a _ {1 1} \det \tilde {A} - x ^ {*} (\operatorname {a d j} \tilde {A}) x \leqslant a _ {1 1} \det \tilde {A}.

试用归纳法和这个不等式给出Hadamard不等式(7.8.1)的另一个证明.

进一步阅读关于定理(7.8.7)的其他信息可参看A.M.Ostrowski and O.Taussky, “On the Variation of the Determinant of a Positive Definite Matrix,” Proc. Kon. Nederl. Acad. Wetensch. Amsterdam, Ser. A, 54 (1951), 383-385. 有一类不等式（当 $A$ 是正定矩阵时）把det $A$ 与 $A$ 的其他广义矩阵函数（见0.3.2）联系起来，同时也推广了Hadamard 不等式(7.8.1)，其有关的内容可参看I.Schur, “Über endliche Gruppen und Hermitesche Formen,” Math. Z. 1 (1918), 184-207.

7.8_关于正定矩阵的不等式

7.8 关于正定矩阵的不等式