1.4 矩阵标准型

1.4.1 Jordan标准型

在计算矩阵的特征值时, 一个基本的思想是通过相似变换, 将其转化成一个形式尽可能简单的矩阵, 使得其特征值更易于计算. Jordan 标准型则是矩阵在相似变化下的最简形式.

定理 1.44 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ (或 $\mathbb{R}^{n \times n}$ ) 有 $p$ 个互不相同的特征值, 则存在非奇异矩阵 $X \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , 使得

其中 $J_{i}$ 的维数等于 $\lambda_{i}$ 的代数重数，且具有下面的结构

这里的 $\nu_{i}$ 为 $\lambda_{i}$ 的几何重数, $J_{i}^{(k)}$ 称为 (对应于 $\lambda_{i}$ 的) Jordan 块, $J$ 就称为 $A$ 的 Jordan 标准型.

该定理可以通过 $\lambda$ -矩阵来证明(见高等代数教材)，也可以通过后面的Schur分解来证明.
除了 Jordan 块的排列次序外, Jordan 标准型是唯一确定的.
可以证明, 对于每一个 Jordan 块 $J_{i}^{(k)}$ , 都存在一个列满秩矩阵 $X_{i}^{(k)}$ 使得

Jordan 标准型的基本性质

• Jordan 块的个数等于 $A$ 的线性无关的特征向量的个数;

• $A$ 可对角化的充要条件是每个 Jordan 块都是 $1 \times 1$ 的, 此时 $X$ 的列向量就是 $A$ 的特征向量.

根据 Jordan 标准型和特征值的连续性, 我们可以得到下面的结论.

推论1.45所有可对角化矩阵组成的集合在所有矩阵组成的集合中是稠密的，即任何一个矩阵都可以通过可对角化矩阵来逼近.

Jordan 标准型的一个重要应用是可以用来计算矩阵的最小多项式.

定理1.46 设 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p$ 为 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的互不相等的特征值, 则 $A$ 的最小多项式为

其中 $r_i$ 是与 $\lambda_{i}$ 所对应的最大Jordan块的维数

1.4.2 Schur分解

Jordan标准型在理论研究中非常有用，但数值计算比较困难.下面我们介绍一个比较实用的矩阵分解，即Schur分解

定理1.47 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ (或 $\mathbb{R}^{n \times n}$ ), 则存在酉矩阵 $U \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 使得

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值 (可以按任意顺序排列).

(板书)

证明. 我们对 $n$ 使用归纳法

当 $n = 1$ 时，结论显然成立

假设结论对阶数为 $n - 1$ 的矩阵都成立. 考虑 $n$ 阶矩阵 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ . 设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值, 其对应的单位特征向量为 $x \in \mathbb{C}^n$ . 构造一个以 $x$ 为第一列的酉矩阵 $X = [x, \tilde{X}]$ . 于是

因为 $x^{*}Ax = \lambda x^{*}x = \lambda$ ，且 $\tilde{X}^* Ax = \tilde{X}^* (\lambda x) = \lambda \tilde{X}^* x = 0,$ 故

其中 $\tilde{A}_{22} \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ . 根据归纳假设, 存在酉矩阵 $\tilde{U} \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ , 使得 $\tilde{U}^* A_{22} \tilde{U} = \tilde{R} \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}$ 是一个上三角矩阵. 令

则有

由于 $\tilde{R}$ 是上三角矩阵, 故 $R$ 也是一个上三角矩阵, 其对角线元素即为 $A$ 的特征值.

由归纳法可知, 定理结论成立.

关于Schur分解的几点说明

• 该结论告诉我们, 任意一个矩阵都可以酉三角化.

• 三角矩阵可以说是一般矩阵在酉相似变化下的最简形式.

• 定理中的 $U$ 和 $R$ 不是唯一的.

• $R$ 的对角线元素可以按任意顺序排列, 特别地, 可以按模从大到小排列.

推论1.48 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , 则

(1) $A$ 是正规矩阵当且仅当 $R$ 是对角矩阵, 即 $A$ 可酉对角化当且仅当 $A$ 是正规矩阵;
(2) $A$ 是Hermite矩阵当且仅当 $R$ 是实对角矩阵

众所周知, 当 $A$ 是实矩阵时, 其特征值和特征向量仍可能是复的. 在计算实矩阵的特征值时, 通常希望尽可能地避免复数运算. 这时, 我们就需要用到下面的实 Schur 分解 (或拟 Schur 分解).

定理1.49 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 则存在正交矩阵 $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 使得

其中 $T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是拟上三角矩阵, 即 $T$ 是块上三角的, 且对角块为 $1 \times 1$ 或 $2 \times 2$ 的块矩阵. 若对角块是 $1 \times 1$ 的, 则其就是 $A$ 的一个特征值, 若对角块是 $2 \times 2$ 的, 则其特征值是 $A$ 的一对共轭复特征值. (板书)

证明. 同样对 $n$ 使用数学归纳法

当 $n = 1$ 时，结论显然成立

假定结论对所有不超过 $n - 1$ 阶的矩阵都成立. 考虑 $n$ 阶实矩阵 $A$ . 设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值. 若 $\lambda$ 是实的, 则存在一个对应的实特征向量, 后面的证明与定理 1.47 的证明类似.

若 $\lambda$ 是复数 (虚部不为 0), 设其对应的单位复特征向量为 $u$ . 由于

故 $(\bar{\lambda},\bar{u})$ 也是 $A$ 的一个特征对，且 $u$ 和 $\bar{u}$ 线性无关.令

即 $\tilde{u},\tilde{v}$ 分别为 $u$ 的实部与虚部,于是 $\tilde{u}\in \mathbb{R}^n,\tilde{v}\in \mathbb{R}^n$ .由定理1.22可知， $\operatorname {span}\{\tilde{u},\tilde{v}\} = \operatorname {span}\{u,\bar{u}\}$ 是 $A$ 的一个不变子空间.将 $\{\tilde{u},\tilde{v}\}$ 进行正交化(利用Gram-Schmidt正交化过程):可得列正交矩阵 $\tilde{Q}\in \mathbb{R}^{n\times 2}$ 和非奇异上三角矩阵 $\tilde{R}\in \mathbb{R}^{2\times 2}$ ，使得 $[\tilde{u},\tilde{v}] = \tilde{Q}\tilde{R}$ .于是 $\operatorname {span}\{\tilde{Q}\} = \operatorname {span}\{\tilde{u},\tilde{v}\}$ 也是 $A$ 的不变子空间.

根据定理1.23,存在矩阵 $B\in \mathbb{R}^{2\times 2}$ 使得 $A\tilde{Q} = \tilde{Q} B$ 将 $\tilde{Q}$ 扩充成一个正交矩阵，即构造矩阵 $\hat{Q}\in \mathbb{R}^{n\times (n - 2)}$ ，使得 $\left[\tilde{Q},\hat{Q}\right]$ 是正交矩阵.于是有

其中 $\hat{Q}^{\mathsf{T}}A\hat{Q}\in \mathbb{R}^{(n - 2)\times (n - 2)}$ 对 $\hat{Q}^{\mathrm{T}}A\hat{Q}$ 使用归纳假设, 即可证明定理结论成立.