1.6 Kronecker 积

定义1.19 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{p \times q}$ , 则 $A$ 与 $B$ 的 Kronecker 积定义为

Kronecker积也称为直积（direct product)，或张量积（tensor product).

任意两个矩阵都存在 Kronecker 积, 且 $A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ 是同阶矩阵. 通常 $A \otimes B \neq B \otimes A$ , 但它们之间存在下面的关系式.

定理1.61 设 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ , $B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ , 则存在 $mn$ 阶置换矩阵 $P$ 使得

定理1.62 矩阵的Kronecker积有以下性质：

(1) $(\alpha A)\otimes B = A\otimes (\alpha B) = \alpha (A\otimes B),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R};$
(2) $(A\otimes B)^{\mathsf{T}} = A^{\mathsf{T}}\otimes B^{\mathsf{T}},$ $(A\otimes B)^{*} = A^{*}\otimes B^{*};$
(3) $(A\otimes B)\otimes C = A\otimes (B\otimes C);$
(4) $(A + B)\otimes C = A\otimes C + B\otimes C;$
(5) $A\otimes (B + C) = A\otimes B + A\otimes C;$
(6) 混合积: $(A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$
(7) $(A_{1}\otimes A_{2}\otimes \dots \otimes A_{k})(B_{1}\otimes B_{2}\otimes \dots \otimes B_{k})$
(8) $(A_{1}\otimes B_{1})(A_{2}\otimes B_{2})\dots (A_{k}\otimes B_{k}) = (A_{1}A_{2}\dots A_{k})\otimes (B_{1}B_{2}\dots B_{k})$
(9) $\operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank}(A) \operatorname{rank}(B)$ ;

推论1.63 设 $A = Q_{1}\Lambda_{1}Q_{1}^{-1}\in \mathbb{C}^{m\times m},B = Q_{2}\Lambda_{2}Q_{2}^{-1}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则

Kronecker积的特征值

定理1.64 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 并设 $(\lambda, x)$ 和 $(\mu, y)$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的一个特征对, 则 $(\lambda \mu, x \otimes y)$ 是 $A \otimes B$ 的一个特征对. 由此可知, $B \otimes A$ 与 $A \otimes B$ 具有相同的特征值.

推论1.65设 $A\in \mathbb{C}^{m\times m},B\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，则 $A\otimes I_n + I_m\otimes B$ 的特征值为 $\lambda_{i} + \mu_{j}$ ，其中 $\lambda_{i}$ 和 $\mu_{j}$ 分别为 $A$ 和 $B$ 的特征值.

定理1.66 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ , $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 则

(1) $\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)$ ;
(2) $\operatorname{det}(A \otimes B) = \operatorname{det}(A)^n \operatorname{det}(B)^m$ ;
(3) 若 $A$ 和 $B$ 都非奇异, 则 $(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}$ .

Kronecker积与向量的乘积

定理1.67 设矩阵 $X = [x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , 记 $\operatorname{vec}(X)$ 为 $X$ 按列拉成的 $mn$ 维列向量, 即

则有

以及

我们称 $\operatorname{vec}(X)$ 为向量化算子或拉直算子. 该结论对节省运算量和存储量都有好处.

Kronecker积与矩阵方程

Kronecker 积一个重要应用是可以将某些矩阵方程转化成一般的代数方程.

定理1.68 矩阵方程

等价于代数方程