35.1_tanh函数的导数

35.1 tanh函数的导数

为了求tanh函数的导数，我们需要使用以下导数公式

\left\{\frac {f (x)}{g (x)} \right\} ^ {\prime} = \frac {f ^ {\prime} (x) g (x) - f (x) g ^ {\prime} (x)}{g (x) ^ {2}} \tag {35.2}

式子35.2是分数函数的导数公式。为了便于查看，这里用 $f^{\prime}(x)$ 表示 $f(x)$ 对 $x$ 的导数。利用以自然常数(e)为底的指数函数的导数式子 $\frac{\partial \mathrm{e}^{x}}{\partial x} = \mathrm{e}^{x}$ 和 $\frac{\partial \mathrm{e}^{-x}}{\partial x} = -\mathrm{e}^{-x}$ ，可求得式子35.1表示的tanh函数的导数。

\begin{array}{l} \frac {\partial \tanh (x)}{\partial x} = \frac {(\mathrm {e} ^ {x} + \mathrm {e} ^ {- x}) (\mathrm {e} ^ {x} + \mathrm {e} ^ {- x}) - (\mathrm {e} ^ {x} - \mathrm {e} ^ {- x}) (\mathrm {e} ^ {x} - \mathrm {e} ^ {- x})}{(\mathrm {e} ^ {x} + \mathrm {e} ^ {- x}) ^ {2}} \\ = 1 - \frac {\left(\mathrm {e} ^ {x} - \mathrm {e} ^ {- x}\right) \left(\mathrm {e} ^ {x} - \mathrm {e} ^ {- x}\right)}{\left(\mathrm {e} ^ {x} + \mathrm {e} ^ {- x}\right) ^ {2}} \\ = 1 - \left\{\frac {\left(\mathrm {e} ^ {x} - \mathrm {e} ^ {- x}\right)}{\left(\mathrm {e} ^ {x} + \mathrm {e} ^ {- x}\right)} \right\} ^ {2} \tag {35.3} \\ = 1 - \tanh (x) ^ {2} \\ = 1 - y ^ {2} \\ \end{array}

如式子35.3所示，利用分数函数的导数，通过简单的数学式变形，我们就可以求出tanh函数的导数。最终结果是 $1 - y^{2}$