5._特征值与特征向量的性质

特征值与特征向量的性质

性质1

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 则 (i) $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$, (ii) $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|$. 由此可见， $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 的特征值全不为零.

性质2

若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 （1） $\lambda^k$ 是方阵 $\boldsymbol{A}^k$ 的特征值（ $k$ 为非负整数），对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$ ；

（2） $k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值（ $k$ 为任意常数），对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$ ；

（3） 当 $A$ 可逆时， $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^{-1}$的特征向量是$\boldsymbol{\alpha}$ ；

（4） 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的多项式是 $\varphi(\boldsymbol{A})=a_m \boldsymbol{A}^m+\cdots+a_1 \boldsymbol{A}+a_0 \boldsymbol{E}$ 则方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ （其中 $\varphi(\lambda)=a_m \lambda^m+\cdots+a_1 \lambda+a_0$ 是关于 $\lambda$ 的多项式），对应于特征值 $\varphi(\lambda)$的特征向量是 $\alpha$.

（5） 方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 有相同的特征多项式及相同的特征值．

证明： 因 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，故有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 于是 (i) $A^k \alpha=A^{k-1}(A \alpha)=A^{k-1}(\lambda \alpha)=\lambda\left(A^{k-1} \alpha\right)=\lambda A^{k-2}(A \alpha)=\lambda^2 A^{k-2} \alpha=\cdots=\lambda^k \alpha$, 所以 $\lambda^k$ 是方阵 $A^k$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda^k$ 的特征向量是 $\alpha$. (ii) $(k A) \alpha=k(A \alpha)=k(\lambda \alpha)=(k \lambda) \alpha$, 所以 $k \lambda$ 是方阵 $k \boldsymbol{A}$ 的特征值，对应于特征值 $k \lambda$ 的特征向量是 $\alpha$.

当 $A$ 可逆时，特征值均不为零，于是 (iii) $A^{-1} A=E \Rightarrow A^{-1}(A \alpha)=E \alpha \Rightarrow \lambda A^{-1} \alpha=\alpha \Rightarrow A^{-1} \alpha=\lambda^{-1} \alpha$, 所以 $\lambda^{-1}$ 是方阵 $A^{-1}$ 的特征值，对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量是 $\alpha$. 由(i)可知， (iii)

所以方阵 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值是 $\varphi(\lambda)$ 对应于特征值 $\varphi(\lambda)$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\alpha}$.

(5) 由于

故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．

定理

性质 设 $\lambda$ 为可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，则 （1）$\frac{1}{\lambda}$ 为其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的对应于特征值 $\frac{1}{\lambda}$ 的特征向量； （2）$\frac{1}{\lambda} \cdot|\boldsymbol{A}|$ 为其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}$ 也是 $\boldsymbol{A}^*$ 的对应于特征值 $\frac{1}{\lambda} \cdot|A|$ 的特征向量．

证明：略。

性质 设 $\lambda_0$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，它的几何重数和代数重数分别为 $r$ 和 $k$ ．则 $r \leqslant k$ ．

证明：略

推论 设 $\lambda_0$ 为方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个单特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda_0$ 的线性无关的特征向量有且仅有一个．

例 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ，证明 $\boldsymbol{A}$ 的特征值只能是 $\pm 1$ ． 证明：设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为对应的特征向量，则

上式两端左乘 $\boldsymbol{A}$ ，并利用已知条件，得

从而

又因为特征向量 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ ，从而

即 $\lambda= \pm 1$ ．

例 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2, \cdots, n-1$ ，求 $\mid \boldsymbol{A}+ 2 E$｜．

解法一：令 $f(x)=x+2$ ．因为 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的多项式 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ ，由性质 的（3）得 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值为 $f(\lambda)=0+ 2,1+2, \cdots, n-1+2$ ，即

由性质 知

解法二：因为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2, \cdots, n-1$ ，所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为

从而

例 设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-3$ ，求 $\left|\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}\right|$ ． 解：设 $\lambda$ 为可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}$ 为对应的特征向量，则由性质 5.3 和性质 5.5 有

可知 $\frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}+3 \lambda+2$ 为方阵 $\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值．又因为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-3$ ，所以

进而 $\boldsymbol{A}^*+3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 的三个特征值为

即 $-1,5,-5$ ．故

性质3

如果 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的同一特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量，则 $k_1 \alpha_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2\left(k_1 、 k_2\right.$ 不同 时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量. 证明 由 $A \alpha_1=\lambda \alpha_1 ， A \alpha_2=\lambda \alpha_2$ 得

所以 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2\left(k_1 、 k_2\right.$ 不同时为零)也是特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量.

性质4

设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $m$ 个互不相同的特征值， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是依次与之对应的特 征向量, 则

性质5

设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 是分别对应 于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的线性无关的特征向量，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关.

例 设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ ，证明 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.

证明 按题设，有 $A \alpha_1=\lambda_1 \alpha_1 ， A \alpha_2=\lambda_2 \alpha_2$ 。假设 $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量，则应该存在数 $\lambda$ ，使

另一方面，

于是 $\lambda\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2$, 即 $\left(\lambda_1-\lambda\right) \alpha_1+\left(\lambda_2-\lambda\right) \boldsymbol{\alpha}_2=0$. 因 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，从而由上式得 $\lambda_1-\lambda=\lambda_2-\lambda=0$ ，即 $\lambda_1=\lambda_2$ ，与题设矛盾. 因此 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量.

例 求矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量． 解：由

所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=\mathrm{i}, \lambda_2=-\mathrm{i}$（其中 i 为虚数单位）． 可以求得对应于它们的所有特征向量分别为

此例的结论具有一般性，读者可去探索证明．这也说明：存在实矩阵，它的特征值为虚数．