3._方程的解的判定_与矩阵秩的关系

在阅读本节前，建议已经掌握了前文介绍的矩阵的秩 对于方程的解与矩阵的秩的关系，初学者可以使用最简单的一次方程帮助记忆。考虑一次方式的三种情况： ① $1x=0$ 这里系数矩阵$A=|1|$ ，增广矩阵为$A'=|1 \quad 0|$ ,容易知道原方程有唯一的解，所以，如果矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程有解。 ② $0x=1$ 这里矩阵$A=|0|$（因为$A=0$，所以$A$没有倒数（即$A$不可逆））, 增广矩阵为$A'=|1\quad 0|$ ,容易知道原方程无解，所以，如果矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程无解。 ③ $0x=0$ 这里矩阵$A=|0|$ ，增广矩阵为$A'=|0 0|$ ,容易知道原方程有无数解，所以，如果矩阵的秩等于增广矩阵的秩方程有无数的解。

矩阵的秩

先看一下方程组：

按高斯消元法，首先列出增广矩阵

把上面矩阵化为阶梯形矩阵后为

{width=300px}

如果把上面矩阵系数再还原成方程，则是：

仔细观察上面第三个方程，可以发现，不论$x$取什么值，这个式子都是成立的，换句话说，表面上看这个方程组有3个方程，但是其实真正有效的只有2个方程，第三个方程是“滥竽充数”的。我们把这个“2”就叫做矩阵的秩。再仔细观察一下阶梯形矩阵，他的阶数也正好是2.

结论：矩阵的秩反应的是方程组里有效方程的个数。秩为1表示方程组里有效的方程的个数为1，秩为2表示有效方程个数为2，秩为3表示有效方程个数为3，以此类推

化为最简形矩阵

把上面矩阵化为最简形矩阵， {width=300px}

然后还原相应的方程组为

首非零元为 1 在第 1 列和第 3 列，所对应的变量 $x_1$ 和 $x_3$ 被称为首变量 ， $x_2$ 和 $x_4$ 看成自由变量。更准确地说，在这个例子中，设 $x_2= C_1$ 和 $x_4= C_2$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意的，那么这个方程组就变为

最后方程组的解用参数$C_1,C_2$ 表示

由于 $C_1, C_2$ 是任意数，所以这个方程组有无穷解

方程的解和秩的关系

非齐次线性方程组 $AX=b$

记忆方法，以二元为例：

① 这是初中学过的，2个方程2个未知量，所以方程有唯一解。

矩阵的秩$r(A)$等于增广矩阵的秩$r([ A : b ]$等于变量个数$n$，方程有唯一解。

②$x+y=1$ 矩阵的秩$r(A)$等于增广矩阵的秩$r([ A : b ]$，但是小于变量个数$n$ 方程有无穷多个

③ 方程2是方程1的二倍。

矩阵的秩$r(A)$不等于增广矩阵的秩$r([ A : b ]$， 方程无解。

齐次线性方程组 $AX=0$

齐次线性方程组一定有零解，所以他只有零解和无穷解两个关系。

记忆方法，以二元为例：

① 方程有唯一解。

矩阵的秩$r(A)$等于增广矩阵的秩$r([ A : b ]$，等于变量个数$n$ 方程有唯一解。

① $x+y=0$ 矩阵的秩$r(A)$等于增广矩阵的秩$r([ A : b ]$，但是小于变量个数$n$ 方程有无穷多个

方程组解的判断

例 判断方程组的解

解：对其增广矩阵做变换的

如果还原方程组为

这是一个与原方程组等效的方程组，但最后一个意味着 $0 x+0 y+0 z=-3$ ，所以无解。