8._酉空间_酉矩阵_辛空间_辛矩阵这样的译名缘由

线性空间的推广

在上面 近世代数对数学的整体思考 介绍了线性空间，但是上面这些定义都是在实数范围内，如果扩展到复数范围，就是酉空间。

酉空间

定义 设 $V$ 是复数域上的线性空间，在 $V$ 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 $( \alpha , \beta )$ ，它具有以下性质：

1）$( \alpha , \beta )=\overline{( \beta , \alpha )}$ ，这里 $\overline{( \beta , \alpha )}$ 是 $( \beta , \alpha )$ 的共轭复数； 2）$(k \alpha , \beta )=k( \alpha , \beta )$ ； 3）$( \alpha + \beta , \gamma )=( \alpha , \gamma )+( \beta , \gamma )$ ； 4）$( \alpha , \alpha )$ 是非负实数，且 $( \alpha , \alpha )=0$ 当且仅当 $\alpha =0$ ， 其中 $\alpha , \beta , \gamma$ 是 $V$ 中任意的向量，$k$ 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间． 例 在线性空间 $C ^n$ 中，对向量

定义内积为

显然，内积（1）满足定义 中的条件．这样， $C ^n$ 就成为一个西空间．

酉矩阵

对 $n$ 阶复矩阵 $A$ ，用 $\overline{ A }$ 表示以 $A$ 的元素的共轭复数作元素的矩阵．如 $A$ 满足 $\bar{A}^{ T } A=A \bar{A}^{ T }=E$ ，就叫做酉矩阵．它的行列式的绝对值等于 1

酉变换

酉空间 $V$ 的线性变换 $A$ ，如果满足

就称为 $V$ 的一个酉变换．酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵．

如矩阵 $A$ 满足

则叫埃尔米特矩阵．在酉空间 $C ^n$ 中令

则

$A$ 也是对称变换．．

一些对比

更详细介绍请参考 高等代数

“奇怪”的数学名词

我国近现代数学发展落后，因此只能大规模翻译西方学术词汇。而翻译的时候由于对数学领域整体把握不足，不敢按照中国本身文化传统起名方法，根据词义取顾名思义的意译名字，就只能照直翻译。比如group翻译成群，ring翻译成环，field翻译成域，ideal翻译成理想，domain翻译成域，form翻译成形式。

在这些翻译中，有时候会影响学生一生，上面这些翻译，虽然不太好但是影响也不算大，但是有一个翻译问题最严重，他就是“有理数”，对于初中生来说，最让人难以理解，为什么有理数比无理数更有道理？其实，有理数英文是“rational number”，英语本意是可比的说，换句话说，在英文里，如果一个数能写成两个整数相比就是有理数，反之，如果一个数无法写成两个整数相比，就是无理数。 完全没有谁比谁更有道理。很遗憾的是，有理数这个翻译确实误人子弟，更遗憾的是，教育部也从来没有想过要更改这个名词，其实有理数如果翻译成“可比数”至少远比他好。

在酉空间，辛空间等数学名词，实际上这些名都无法表示相应概念的真正含义。无法顾名思义，就只能死记硬背。

具体到“辛”这件事上，本来这就是现代外国数学家造的一个新词。原来的辛群叫做line complex group，容易和复数的complex弄混。于是数学家赫尔曼·外尔(Weyl)按照希腊语词根造了新词“sym-plectic”，表示“复合”的意思。

二十世纪上半叶，华罗庚在美国访问，那里的人在研究一种新的代数，具体的说就是，数学家们发现了一种新的对称，不同于平移，翻转，镜像。而国内又没有专门的名称去和这种对称关系对应，于是华罗庚就音译sym为“辛”，用辛这个名字来描述这种新的对称。有了辛的概念，后续的辛几何，辛代数，辛空间的概念也相继引出了

在来看酉空间，他是英文单词“Unitary”的音译，Unitary英语本意是“统一”的意思，因为欧氏空间主要是研究实数的，后来数学家发现，这种数可以推广到复数，为了表示这种统一，使用了Unitary一词，当Unitary掺入中国时，大家也不知道怎么翻译，就从“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”里选择了酉，一方面是因为Unitary的第一个字母U发音为酉，另外一方面，可以和辛相对，更显高雅。