8._矩阵乘法_矩阵右乘

矩阵右乘是列变换

下面例子演示了右乘的意思，对于$A \times B=C$

从结果看，

一个矩阵$A$右乘一个矩阵$B$，相当于对矩阵$A$的列进行了列变换。

记忆口诀：左乘是行变换，右乘是列变换

初等矩阵右乘的效果

若 $E$ 是单位矩阵经过一次 列初等变换 得到的初等矩阵，那么 $A E$ 就是对 $A$ 做同样的列变换。

例如：

• $E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$（交换第2、3列） 右乘它：$A E$ 会交换 $A$ 的第 2 列与第 3 列。

• $E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$（第 2 列乘 k） 右乘它：$A E$ 会将 $A$ 的第 2 列乘以 $k$。

• $E = \begin{bmatrix}1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$（第 1 列加 c 倍第 2 列） 右乘它：$A E$ 会将 $A$ 的第 1 列加上 $c$ 倍第 2 列。

例如

新第 1 列 = 原第 1 列 + 2 × 原第 3 列 新第 2 列 = 原第 2 列 新第 3 列 = 原第 3 列

使用列变换求逆矩阵

列变换等价于右乘一个初等矩阵E，因为这个关系，给你一个矩阵$A$，如果$A$可逆，那么通过初等列变换总能变成单位矩阵$E$,写成矩阵乘法就是：

进一步的，因为$A^{-1} \cdot A=E$, 所以

从上面可以得到逆矩阵的求法，

给你一个矩阵$A$，把他和单位矩阵$E$进行按列合并，然后使用列变换，上边化成$E$,则下边就是$A^{-1}$

即

注意：在求解方程或者逆矩阵里，我们几乎都不使用列变换，此处稍微了解即可。 从上面可知，加上给你一个矩阵方程$XA=B$,可以有两种解法：

①解法一：直接使用列变换求解。 ②解法二：$XA=B$ 两边去转置的 $A^{T} X^T=B^T$ 这样又变成左乘的形式了，然后使用行变换，只是解出来的是$X^T$,只要再转置一下即可得$X$

具体解释清参考 逆矩阵 ，他也是$XA=B$ 方差的标准解法，见 逆矩阵解方程

矩阵右乘向量

对于矩阵右乘向量，通常使用转置进行理解

矩阵转置后又变成了左乘模式，但是此时使用的是转置，

具体可以参考 基变换的几何意义

矩阵左乘向量图解

观察上式，用$x$行向量左乘矩阵 $A$ ，相当于对矩阵 $A$ 中的行向量做线性组合，线性组合的系数就是行向量 $x$ 中的每个对应位置的元素。

矩阵右乘

观察上式，不难发现，矩阵$A$右乘向量$x$ 中的列向量 相当于对矩阵$A$的列做线性组合。

由此的下面定理

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，对 $A$ 进行一次初等行变换相当于在 $A$ 的左边乘一个相应类型的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 进行一次初等列变换相当于在 $A$ 的右边乘一个相应类型的 $n$ 阶初等矩阵．

矩阵乘以对角矩阵

右乘对角矩阵 矩阵右乘对角矩阵相当于对列乘积相应的倍数

左乘对角矩阵 矩阵左乘对角矩阵相当于对行乘积相应的倍数

矩阵乘以对角矩阵和列向量 这种也可以看成列的组合。