2._矩阵的定义

线性方程组

先看一个二元一次方程组：

这是一个含有$2$个未知数，$2$个等式的方程，我们把他的系数提取出来，排成一个数表，就形成了一个矩阵，如下

这样一个数表为称作矩阵。

如果把等号右边的常数项也加进去，如下面所示

这样，也形成了一个矩阵被称为增广矩阵。

矩阵的记法

上面对矩阵的记法使用的是大括号，在有些教程里，使用的是方括号，即

矩阵的写法有 大括号或中括号两种写法，这两种写法一种源自苏联，一种源自美国。 早期教程在排版方面，因为大括号比方括号容易排版，所以多使用大括号。 随着计算机发展，现代教程多使用方括号。

行列式的矩阵表示法

如果把上面方程的系数取出来，就组成了一个行列式：

因为，这个行列式来自矩阵，所以，为了方便，对于一个矩阵$A$ 使用

表示 矩阵A对应的行列式。

对角矩阵

形如

的矩阵称作对角矩阵，此时可以写成

$A=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)$

奇异矩阵/非奇异矩阵

如果方程$|A| \ne 0$，则成$A$为 非奇异矩阵（也叫非退化矩阵或满秩矩阵）

如果方程$|A| = 0$，则成$A$为 奇异矩阵（也叫退化矩阵或降秩矩阵）

矩阵的定义

由 $m$ 个方程 $n$ 个末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 构成的线性方程组可以表示为:

把他们的未知数的系数提取出来，形成一个 $m$ 行 $n$ 列的数表，这个数表称作矩阵。

抛去具体意义，下面给出矩阵的数学定义

矩阵的定义

定义1 $m \times n$ 个数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

称为一个 $m \times n$ 矩阵，简记为 $\left(a_{i j}\right)$ ，也记为 $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$. 数 $a_{i j}$ 位于矩阵 $\left(a_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为矩阵的 $(i, j)$ 元素， 其中 $i$ 称为元素 $a_{i j}$ 的行标， $j$ 称为元素 $a_{i j}$ 的列标.

一般地，常用英文大写字母 $A, B, C \cdots$ 或字母 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$ 表示矩阵.

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.

方阵

如果矩阵中$m=n$,即矩阵的行数等于列数，则称为方阵（正方形矩阵的简称），如果$m \ne n$ 则成为长方阵。 方阵在矩阵研究中占据极其重要的位置。 因此定义：含有 $n$ 行及 $n$ 列的矩阵称为 $n$ 阶方阵 (亦称为 $n$ 阶矩阵)。

一些概念汇总

（1）$1 \times 1$ 的矩阵 $A=(a)$ 就记为 $\boldsymbol{A}=a$.

（2）$1 \times n$ 的矩阵 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 称为行矩阵，也称为 $n$维行向量.

（3）$n \times 1$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 称为列矩阵，也称为 $n$ 维列向量.

注意：除非特别声明，我们默认总是研究矩阵的列向量

（4）所有元素都是零的 $m \times n$ 矩阵称为零矩阵，记为 $O_{m \times n}$ ，或简记为 $\boldsymbol{O}$.

因为阶数不同，所以两个零矩阵不一定相等。

（5）$m \times n$ 矩阵，如果$m=n$, 即 $\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \quad$ 称为 $n$阶方阵. 元素 $a_{i i}(i=1,2, \cdots, n)$ 所在的位置称为 $n$ 阶方阵的主对角线.

（6）一个 $n$ 阶方阵主对角线上方的元素全为零， 即

称该 $n$ 阶方阵为下三角矩阵

类似地，有上三角矩阵 ，即

（7）$n$ 阶方阵只有主对角线有元素，其它元素都是零的矩阵

称为 $n$ 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$.

（8）如果 $n$ 阶对角矩阵 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 对角线上的元素全相等， 即 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ，则称其为数量矩阵.

（9）当数量矩阵的 $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$ 时，这个数量矩阵就称为 $n$阶单位矩阵，简称为单位阵， 记为 $I$ 或 $E$ 即

方程的矩阵写法

有了矩阵，可以简化方程的写法，

定义方程的系数矩阵$A$:

定义方程变量为$X$为列矩阵

定义方程等式右边为矩阵 $B$，

则上面方程（1）可以写成(这里用到了矩阵乘法，详见后面介绍)

还记得初中学的代数方程吗？矩阵$AX=B$的这种写法和初中学过的$ax=b$写法完全一致,从外形看，仅仅把字母从小写变成大写就完成了代数乘法到矩阵乘法的转变，因此非常方便记忆。

为什么我们不定义： $X=\{x_{1} ,x_{2},...,x_{n}\}$ 和 $B=\{b_{1} ,b_{2},...,b_{n}\}$ 因为这样无法得到$AX=B$，这和我们初中学的$ax=b$写法不一致，因此才定义$X,B$为列形式。当然这也导致了后面研究向量都以“列”向量为基准。

例如

$\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=3 \\ x-2 y+5 z=9 \\ 3 x-y-z=0\end{array}\right.$

仿照初中$ax=b$得记忆法，写成矩阵的形式就是

矩阵的相等

定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果两个同型矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 中所有对应位置的元素都相等， 即 $a_{i j}=b_{i j}$ ，其中 $i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n$ ，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$.

两个零矩阵并不相等，比如$0_{2\times2} \neq 0_{3\times 3}$

矩阵和行列式的关系

从定义上可以看到矩阵就是“表格”, 而行列式是一个“数”，这是计算上最大的区别。矩阵是$m \times n$ 而行列式是 $n \times n$，这意味着大部分矩阵和行列式是没有关系的，但是当矩阵的$m=n$时，即矩阵是方阵时，矩阵和行列式会产生联系。

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵, 则我们用 $|\boldsymbol{A}|$ 或 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式. 注意对长方阵而言, 谈论其行列式显然没有意义.

因此，通过行列式就可以判断方程有没有解。如果$D=0$，意味着这个空间坍塌为一个点，自然无法“存放”向量，因此方程也就无解。