39._Cauchy-Binet_柯西-比内公式 - 线性代数

问题背景：行列式乘法公式的局限性

我们知道，对于两个 $n×n$ 的方阵 $A$ 和 $B$ ，有这样一个优美的性质：

\det(A) \cdot \det(B)=\det(AB)

即：矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的行列式的乘积 等于 矩阵 $A$ 乘以矩阵 $B$ 的乘积的行列式。

但是，如果 A 和 B 不是方阵呢？比如：

这时，我们自然想问：AB 的行列式 $\det(AB)$ 是什么？它还能表示为 A 和 B 的某些“行列式”的乘积吗？由于 A 和 B 本身不是方阵，没有行列式，所以经典的公式不再适用。

Cauchy-Binet 公式 就是为了解决这个问题而生的。

设：

那么，m×m 的矩阵 AB 的行列式由以下公式给出：

\det(AB) = \sum_{S} \det(A_S) \det(B_S)

其中：

求和符号 $S$ ：遍历所有满足 $S \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$ 且 |S| = m 的子集 $S$ 。也就是说，我们是从 $n$ 列（或行）中选出所有可能的 $m$ 个元素的组合。
$A_S$ ：是从 A 中选取 列索引 属于 $S$ 的那些列所构成的 m×m 方阵。
$B_S$ ：是从 B 中选取 行索引 属于 $S$ 的那些行所构成的 m×m 方阵。

重要提醒： $A$ 选的是列，而 $B$ 选的是行。这是因为在矩阵乘法 $AB$ 中， $A$ 的列与 $B$ 的行在进行内积运算。

让我们通过一个简单的例子来理解这个公式。

设 $m=2, n=3$ 。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}

它们的乘积为：

AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \end{pmatrix}

根据 Cauchy-Binet 公式， $\det(AB)$ 等于从 $\{1,2,3\}$ 中所有大小为 2 的子集 $S$ 的求和。这些子集是： $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ 。

当 $S = \{1,2\}$ ：
$A_{\{1,2\}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
$B_{\{1,2\}} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$
贡献项为： $\det(A_{\{1,2\}}) \cdot \det(B_{\{1,2\}})$
当 $S = \{1,3\}$ ：
$A_{\{1,3\}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{pmatrix}$
$B_{\{1,3\}} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}$
贡献项为： $\det(A_{\{1,3\}}) \cdot \det(B_{\{1,3\}})$
当 $S = \{2,3\}$ ：
$A_{\{2,3\}} = \begin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$
$B_{\{2,3\}} = \begin{pmatrix} b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}$
贡献项为： $\det(A_{\{2,3\}}) \cdot \det(B_{\{2,3\}})$

所以，Cauchy-Binet 公式告诉我们：

\det(AB) = \det(A_{\{1,2\}})\det(B_{\{1,2\}}) + \det(A_{\{1,3\}})\det(B_{\{1,3\}}) + \det(A_{\{2,3\}})\det(B_{\{2,3\}})

你可以尝试直接计算 $\det(AB)$ 并展开，结果确实等于这个和。

\det(AB) = \det(A) \det(B)

这就是我们熟悉的行列式乘法公式。

当 m = 1 时：此时 A 是 1×n 的行向量，B 是 n×1 的列向量。它们的乘积 AB 是一个 1×1 的矩阵（即一个数）。公式变为：

AB = \sum_{i=1}^n A_{1i} B_{i1} = \sum_{S=\{i\}} \det(A_S)\det(B_S)

因为对于 1×1 矩阵，其“行列式”就是它唯一的元素。这其实就是向量的点积。

推广行列式：它将行列式的概念巧妙地推广到了非方阵的乘法上。
证明其他定理：它是证明其他重要定理的有力工具，例如：
矩阵的秩不等式： $\mathrm{rank}(AB) \leq \min(\mathrm{rank}(A), \mathrm{rank}(B))$ 。
在微分几何中，用于计算曲面面积，是处理曲面第一基本形式行列式的基础。
基础性：它揭示了矩阵乘法、行列式和组合数学之间深刻而优美的联系。

Cauchy-Binet 公式 的核心思想是：一个“瘦长”矩阵和一个“矮胖”矩阵的乘积（结果是方阵）的行列式，等于所有可能的对应最大子方阵的行列式乘积之和。

它是一个非常强大且优美的结论，完美地解决了非方阵相乘后求行列式的问题。

Cauchy－Binet 公式的两个重要应用．它们分别是著名的 Lagrange （拉格朗日）恒等式和 Cauchy－Schwarz（柯西－许瓦兹）不等式．这两个结论也可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁．

例证明 Lagrange 恒等式（ $n \geq 2$ ）：

\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=\sum_{1 \leq i<j \leq n}\left(a_i b_j-a_j b_i\right)^2 .

证明：略。本证明可以参考《高等代数》里的证明，只要记住结论即可。

例设 $a_i, b_i$ 都是实数，证明 Cauchy－Schwarz 不等式：

\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geq\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 .

证明：略。本证明可以参考《高等代数》里的证明，只要记住结论即可。