17._雅可比行列式与雅可比矩阵及其意义

雅可比行列式(微分观点)

在 二阶行列式 里介绍过，行列式的值代表矩阵向量张成的空间体积。

线性函数

考虑一个由矩阵 $A$ 定义的线性变换 $\boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x}$ ，其中 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ ．这个变换将输入空间中的一个区域映射到输出空间中的另一个区域．矩阵 $A$ 的行列式的绝对值 $|\operatorname{det}(A)|$ 所衡量的正是这个变换对体积的缩放比例．

也就是说，如果输入空间中有一个体积为 $V$ 的区域，经过变换后，其在输出空间中的对应区域的体积将是 $|\operatorname{det}(A)| \cdot V$ ．行列式的正负号则反映了变换是否保持了空间的＂方向性＂。

下图显示了在输入空间里的“体积”经过矩阵$A$作用后，变成了在新空间里的“体积”。 {width=500px}

非线性函数

然而，现实世界中的多数变换并不是线性的．考虑一个一般的、可微的函数 $\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$ ，其中 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ ．这样的函数描述了一个非线性的空间扭曲．我们不能再用一个单一的矩阵来描述整个空间的体积变化，因为在空间的不同位置，扭曲的程度可能完全不同．这正是微分学的思想介入之处：考察局部的、无限小的尺度上的行为．

在一个特定的点 $\mathbf{x}_0$ 附近，任何一个光滑的非线性函数 $f$ 都可以被一个线性函数来近似。具体而言，当我们从点 $\mathbf{x}_0$ 移动一个无限小的位移向量 $\mathrm{d} \mathbf{x}$ 到达点 $\mathbf{x}_0+\mathrm{d} \mathbf{x}$ 时，函数值 $f\left(\mathbf{x}_0+\mathrm{d} \mathbf{x}\right)$ 的变化可以用泰勒展开来描述，其一阶近似为 $f\left(\mathbf{x}_0+\mathrm{d} \mathbf{x}\right) \approx f\left(\mathbf{x}_0\right)+J f\left(\mathbf{x}_0\right) \mathrm{d} \mathbf{x}$ ．这里，$J f\left(\mathbf{x}_0\right)$ 就是函数 $f$ 在点 $\mathbf{x}_0$ 的雅可比矩阵 ．

这个关系式是理解雅可比矩阵本质的关键。它表明，在点 $\mathbf{x}_0$ 的一个无限小的邻域内，复杂的非线性变换 $f$ 的行为，可以被一个简单的线性变换所取代，而这个线性变换的矩阵正是雅可比矩阵 $J f\left(\mathbf{x}_0\right)$ ．换言之，雅可比矩阵是原非线性函数在某一点上的＂最佳线性近似＂．它捕捉了在这一点附近，空间是如何被拉伸、压缩、旋转和剪切的。{width=500px}

既然雅可比矩阵 $J f\left(\mathbf{x}_0\right)$ 扮演了在点 $\mathbf{x}_0$ 处的局部线性变换的角色，那么它的行列式 $\operatorname{det}\left(J f\left(\mathbf{x}_0\right)\right)$ 的意义也就随之明确了．结合我们最初对线性变换的理解，雅可比行列式 + $\operatorname{det}\left(J f\left(\mathbf{x}_0\right)\right)$ 正是该变换在点 $\mathbf{x}_0$ 处对体积的＂局部缩放率＂。

通俗解读雅可比行列式

在全微分里 我们说过，全微分的本质使用 切平面的增量替代曲面的增量。

下面列出相关教程

（1）高等数学 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=389

（2）数学分析里雅可比行列式 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2297

（3）复变函数里的雅可比行列式 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=901