6._n_阶行列式

$n$ 阶行列式的定义

由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表:

D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|

由这个数表所决定的数 $\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式，

对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和

① $\sum_{p_1 p_2...p_n}$ 是对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和，所以展开式中共有 $n!$ 项;

②每一项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积；

③每一项 $a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 的行标排成一个标准排列, 列标排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 的奇偶性决定了乘积 $a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 前的符号.

这里给出了 $n$ 阶行列式的定义与计算，估计很多同学看到定义都蒙了，别急，后面会用三阶行列式展开来告诉你如何理解定义。

记矩阵

\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right),

则行列式 $D_n$ 通常也称为方阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$ . 有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的，也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$ .

根据上面定义计算三阶行列式

上面给出了 $n$ 阶行列式的定义，比较抽象，这里以 $n=3$ 为例，详细介绍行列式怎么取数和计算。三阶行列式的定义如下

\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\sum_{\substack{p_1 p_2 p_3}}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}

如何理解上式等号右边的式子？首先， $\sum$ 表示求和，这个大家都能看懂，齐次， $\tau (p_1 p_2 p_3)$ 代表 $(p_1 p_2 p_3)$ 形成你逆序数,见逆序数教程

下面解释怎么取数 在等号右边求和里，即 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}$ 里可以看到 $a$ 的第一个下标都是固定的，变的只是 $p_1,p_2,p_3$

比如，取 $p_1=1,p_2=2,p_3=3$ ,带入就是 $a_{11} a_{22} a_{3 3}$ ，为了记录方便，可以写成 $p_1 p_2 p_3=123$ ，代表取数 $a_{11} a_{22} a_{3 3}$

同理，取 $p_1=1,p_2=3,p_3=2$ ,带入就是 $a_{11} a_{23} a_{32}$ , 也就是 $p_1 p_2 p_3=132$ 代表取数是 $a_{11} a_{23} a_{32}$

从这些取数里可以发现，每次取数时，第一个行标不变，而只变列标，这样，防止取数重复或者漏取。

再仔细看一下取数，每次取数时，这个数都是在不同行不同列上取的，比如我第一个数取 $a_{11}$ 那么后面所有的数都不可能在第1行第1列取数，记住这个规律非常重要。

现在开始计算三阶行列式

STEP1: 根据定义, $3!=6$ ，所以三阶行列式是共有6项，同时每项含有3个数相乘，这是大方向，不能搞错。

STEP2: ① $p_1 p_2 p_3=123$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(123)} a_{11} a_{22} a_{33}=(-1)^0 a_{11} a_{22} a_{33}=a_{11} a_{22} a_{33} \text {, }

② $p_1 p_2 p_3=132$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(132)} a_{11} a_{23} a_{32}=(-1)^1 a_{11} a_{23} a_{32}=-a_{11} a_{23} a_{32},

③ $p_1 p_2 p_3=213$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(213)} a_{12} a_{21} a_{33}=(-1)^1 a_{12} a_{21} a_{33}=-a_{12} a_{21} a_{33},

④ $p_1 p_2 p_3=231$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(231)} a_{12} a_{23} a_{31}=(-1)^2 a_{12} a_{23} a_{31}=a_{12} a_{23} a_{31} \text {, }

⑤ $p_1 p_2 p_3=312$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(312)} a_{13} a_{21} a_{32}=(-1)^2 a_{13} a_{21} a_{32}=a_{13} a_{21} a_{32},

⑥ $p_1 p_2 p_3=321$ 时, 对应项为

(-1)^{\tau(321)} a_{13} a_{22} a_{31}=(-1)^3 a_{13} a_{22} a_{31}=-a_{13} a_{22} a_{31}

STEP3: 把这六项求和, 就得到三阶行列式

\begin{aligned} & \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 p_3}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3} \\ & =a_{11} a_{22} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31} \\ & +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31} \end{aligned}

利用定义，不管是四阶行列式还是五阶行列式都可以采用这种思路计算。

n 阶行列式的性质

性质 1 行列式 $D_n$ 与它的转置行列式 $D_n^{\top}$ 相等.

性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号. 记为 $r_i \leftrightarrow r_j$ 或 $c_i \leftrightarrow c_j$

\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \\ 7 & 5 & 6 \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 1 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll} 4 & 3 & 1 \\ 6 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right|

性质3 若行列式中有两行 (或两列) 对应元素相等，则行列式等于零.

性质4 若行列式的某一行有公因子 $k$ ，则公因子 $k$ 可以提到行列式记号外面;

这条性质必须和矩阵的区别出来，矩阵的是性质是若矩阵里每个元素有公因子 $k$ ，则公因子 $k$ 可以提到矩阵的记号外面;

性质5 设 $D$ 是 $n$ 阶方阵，则等式 $|k D|=k^n|D|$ 成立.

性质6 若行列式中某行 (列) 元素均为两项之和, 则行列式可表示为两个行列式之和。

性质7 行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

三阶行列式的计算

例设 ${D}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|$ , 求 $D$ .

解:可以化为上三角，也可以直接展开。 $|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|=1 \times 3 \times(-1)+2 \times 1 \times 1+(-2) \times(-3) \times 2-(-2) \times 3 \times 1-1 \times 1 \times 2-2 \times(-3) \times(-1)$ $=(-3)+2+12-(-6)-2-6=9$ .

四阶行列式的计算

对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角或下三角进行计算。主要使用的一条性质是：性质7:行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

例求四阶行列式

\begin{aligned} &D=\left|\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right| \end{aligned}

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用第一行消去第二行，用第一行消去第三行，用第一行消去第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。

D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right|

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此 (i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行 (ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行 (iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行

D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\ -2 r_1+r_3 \\ -2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right|

③ 现在第一列已经变成 $(k,0,0,0)$ 上三角形式了，接下来处理第二列，让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$ 形式，为此，以第二行为基础，消去第三行和第四行。（i）将第 $2$ 行乘以 $-3$ 加到第三行（ii）将第 $2$ 行乘以 $-2$ 加到第四行此时得到的行列式如下：

D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\ -2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \end{array}\right|

注意在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动是可以的，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是 $14$ 和第四行的 $7$ ，虽然 $14$ 乘以 $-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此交换第三行和第四行（注意行列式再次变号），

D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\ }}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \end{array}\right|

然后用新的第 $3$ 行乘以 $-2$ 加到第四行上去。

D\xlongequal{\substack{} \\ -2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值

\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|=-21

对于任意一个四阶行列式，通过上述得变换，化简为上三角或下三角行列式，然后其值为主对角线的乘积。但是在具体算时，需要灵活运动行列的性质。

例计算

D=\left|\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right|

解：因为现在 $a_{11}=2$ ，若将 $a_{21}, a_{31}$ 化零时会出现分数。 我们要尽可能想办法让行列式中 $a_{11}=1$ ，(当然-1也可以) ，一种方法是第一行提取公因子法，即第一行提取一个公因子 $2$ ，但是这样后面几个数字也会出现分数。为此，先将 $D$ 中第二行的 $-1$ 倍加到第一行上，使新的 $a_{11}=-1$ ．根据新的第 $1$ 行的特点，将 $a_{12}, a_{13}, a_{14}$ 化为零更方便，

① 将第2行的-1倍加到第一行上，结果如下。此时可以按照上一个例题用第一行消去第2,3,4 行，但是我们仔细观察数字，用第一列消去第2,3,4列更方便。总之，在化简过程中要保存两个原则，一是尽可能化为零，二是尽可能化为上三角或下三角，这2个主轴不能变。根据结果要随时改变解题策略。

=\left|\begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right|

② 观察第一行后面3个数字，用第一列，消去第二列，用第一列消去第三列，用第一列消去第四列。 (i)第一列乘以 $-1$ 倍加到第二列 (ii)第一列乘以 $1$ 倍加到第三列 (iii)第一列乘以 $1$ 倍加到第四列得

D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 6 & 7 \\ 5 & -1 & 2 & 7 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|,

③根据新行列式特点，拟将 $D$ 化成下三角形行列式，

$图片$

④需将 $a_{23},a_{24}, a_{34}$ 化为零,因为 $a_{44}=-1$ 所以 (i)用第四行的7倍加到第二行 (ii)用第四行的7倍加到第三行得到如下行列式

D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 31 & 9 & 6 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|

⑤接下来要把 $a_{23}$ 化为零， (i)用第三行的-3倍加到第二行化成下三角后，行列式的值为辅对角线的值相乘即可。

=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ -68 & -30 & 0 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|=(-1) \times(-30) \times 2 \times(-1)=-60 .

例题

例计算行列式

D=\left|\begin{array}{llll} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right|

解：注意到行列式的每一列元素之和都是 5 ，将行列式的第二、三、四行都加到第一行，得

D=\left|\begin{array}{llll} 5 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right|=5\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right|

\xlongequal[r_4+(-1)_r]{\substack{r_2+(-1) r_1 \\ r_3+(-1) r_1}} 5\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=5

例计算 $n+1$ 阶行列式

\begin{aligned} &D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc} c_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_2 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{array}\right|, \quad c_1 c_2 \cdots c_n \neq 0 \end{aligned}

解由题设知， $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 全不为零，依次给行列式 $D_{n+1}$ 的第 2、第 3、 $\cdots$ 、第 $n+1$ 列分别乘以 $-\frac{b_1}{c_1},-\frac{b_2}{c_2}, \cdots,-\frac{b_n}{c_n}$ 加到第 1 列, 由行列式的性质可得

所以,

D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc} c_0-\frac{a_1 b_1}{c_1}-\frac{a_2 b_2}{c_2}-\cdots-\frac{a_n b_n}{c_n} & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & c_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{array}\right| .

\begin{aligned} D_{n+1} & =\left(c_0-\frac{a_1 b_1}{c_1}-\frac{a_2 b_2}{c_2}-\cdots-\frac{a_n b_n}{c_n}\right) c_1 c_2 \cdots c_n \\ & =\left(c_0+\sum_{k=1}^n \frac{a_k b_k}{c_k}\right) \prod_{i=1}^n c_i \end{aligned}

评注这个行列式的特点是除第 1 行, 第 1 列和主对角线元素而外,其余元素均为零。它的所有非零元素组成一个汉字「爪」，所以，它也称为爪形行列式。由于有许多行列式可化为爪形行列式, 因此此类行列式化为三角形的方法应熟练掌握.

例计算行列式

D=\left|\begin{array}{cccc} a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\ b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\ c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\ d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2 \end{array}\right|

解将行列式 $D$ 中的第 1 列的 (-1) 倍加到第 2、3、4 列, 整理可得

D=\left|\begin{array}{llll} a^2 & 2 a+1 & 4 a+4 & 6 a+9 \\ b^2 & 2 b+1 & 4 b+4 & 6 b+9 \\ c^2 & 2 c+1 & 4 c+4 & 6 c+9 \\ d^2 & 2 d+1 & 4 d+4 & 6 d+9 \end{array}\right|

=\left|\begin{array}{llll} a^2 & 2 a+1 & 2 & 6 \\ b^2 & 2 b+1 & 2 & 6 \\ c^2 & 2 c+1 & 2 & 6 \\ d^2 & 2 d+1 & 2 & 6 \end{array}\right|=0

例 计算行列式

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{llll} a & b & c & d \\ a & d & c & b \\ c & d & a & b \\ c & b & a & d \end{array}\right|

的值．解将第二行的 $(-1)$ 倍加到第一行，第四行的 $(-1)$ 倍加到第三行得到

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & b-d & 0 & d-b \\ a & d & c & b \\ 0 & d-b & 0 & b-d \\ c & b & a & d \end{array}\right|=0,

因为第一、三行成比例．

例 计算 $n$ 阶行列式

|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{ccccc} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{array}\right|

的值．

解行列式 $|\boldsymbol{D}|$ 的主对角线上的元全为 $a$ ，其余的元全为 $b$ ．我们将第 $2,3, \cdots, n$ 列都加到第一列上，然后提出第一列的公因子 $a+(n-1) b$ ，得到

\begin{aligned} |\boldsymbol{D}| & =[a+(n-1) b]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & a & b & \cdots & b \\ 1 & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & a \end{array}\right| \\ & \xlongequal{\begin{array}{c} -1 \cdot(1) \text { 行十 (i) 行 } \\ i=2,3, \cdots, n \end{array}}[a+(n-1) b]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b \end{array}\right| \\ & =[a+(n-1) b](a-b)^{n-1} . \end{aligned}

n 阶行列式的几何意义

前面在介绍二阶行列式时，曾经说过，二阶行列式的值相当于在二维平面上两个向量形成的面积，在三阶行列式上，是三个向量形成的体积。以此类推， $n$ 阶行列式的值为 $n$ 个向量所张成的空间体积。示意图如下

对于 $n$ 维空间 $n$ 个向量构成的多面体：

a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n \text {, 记其体积为 } D\left(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n\right)

我们将其两个向量对换位置：

a_1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n, \quad \text { 记其体积为 } D\left(a_1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n\right)

我们应当有：

D\left( a _1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots a_n\right)=-D\left( a _1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots a_n\right)