20._线性映射与线性变换 - 线性代数

线性映射与线性变换的区别主要是维度。维度不同叫做映射，维度相同叫做变换。比如3维球体通过灯光照射投影到2维平面上，这叫做映射。二维平面上的圆压缩成二维平面上的椭圆，这叫做变换。

线性映射

设 $V_n, U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，如果映射 $T: V_n \rightarrow U_m$ 满足 (i) 任给 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n$ ，有 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)$

(ii)任给 $\boldsymbol{\alpha} \in V_n, \lambda \in R$ (从而 $\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n$ )，有 $T(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha})$

那么， $T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的线性映射。简言之，线性映射就是保持线性组合的对应的映射. 例如，

T: R^n \rightarrow R^m,\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right),

其中

\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{12} \\ a_{2 n} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)

就确定了一个从 $R^n$ 到 $R^m$ 的映射，并且是个线性映射.

线性变换

特别地，如果在上述定义中取 $V_n=U_n$ ，那么 $T$ 是一个从线性空间 $r_n$ 到其自身的线性映射，称为线性空间 $V_n$ 中的线性变换.

例设 $V$ 是实数域 $\mathbf{R}$ 上的一个线性空间，对任意的 $\alpha \in V$ ，分别定义如下三个 $V \rightarrow V$ 的映射: (1) $I(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}$ ; (2) $o(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0}$ ，其中 0 是 $V$ 中的零向量； (3) $T(\boldsymbol{\alpha})=k \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $k \in \mathbf{R}$ 是固定的数. 则这三个映射都是线性空间 $V$ 上的线性变换，分别称为 $V$ 的恒等变换、零变换和数乘变换.

例 在线性空间 $P[x]_3$ 中（1）微分运算 $D$ 是一个线性变换．这是因为任取

p=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \in P[x]_3, \quad q=b_3 x^3+b_2 x^2+b_1 x+b_0 \in P[x]_3,

则有

D p=3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1, \quad D q=3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1 .

于是

\begin{gathered} D(p+q)=D\left[\left(a_3+b_3\right) x^3+\left(a_2+b_2\right) x^2+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right)\right]=3\left(a_3+b_3\right) x^2+2\left(a_2+b_2\right) x+\left(a_1+b_1\right) \\ =3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1+3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1=D p+D q \end{gathered}

D(\lambda p)=D\left(\lambda a_3 x^3+\lambda a_2 x^2+\lambda a_1 x+\lambda a_0\right)=\lambda 3 a_3 x^2+\lambda 2 a_2 x+\lambda a_1=\lambda\left(3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1\right)=\lambda D p

（2）如果 $T(p)=1$ ，那么 $T$ 是个变换，但不是线性变换．这是因为

T(p+q)=1, \quad T(p)+T(q)=1+1=2,

故

T(p+q) \neq T(p)+T(q)

例 在 $R ^2=\left\{\left. \alpha =\binom{x}{y} \right\rvert\, x, y \in R \right\}$ 中定义映射 $T: R ^2 \rightarrow R ^2$ 为： $T\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right)\binom{x}{y}$ ，对任意的 $\alpha =\binom{x_1}{y_1}, \beta =\binom{x_2}{y_2} \in R ^2$ 及任意实数 $\lambda \in R$ ，有

T( \alpha + \beta )=T\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}+\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}=T( \alpha )+T( \beta ),

T(\lambda \alpha )=T\binom{\lambda x_1}{\lambda y_1}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{\lambda x_1}{\lambda y_1}=\lambda\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}=\lambda T( \alpha )

所以 $T$ 是 $R ^2$ 上的线性变换．这个线性变换的几何意义是： $T$ 将 $x o y$ 平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转 $\varphi$ 角．

例 设有 $n$ 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)$ ，其中 $\alpha _i=\left(\begin{array}{c}a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{n i}\end{array}\right)$ ．

例 在 $\mathbb{R}^3$ 中，下列变换是否为线性变换？

\sigma\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2+1 \\ x_3 \end{array}\right)

解：设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的任意向量， $k$ 为任意的实数，记

\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right),

因为

\begin{gathered} \sigma(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ \left(a_2+b_2\right)+1 \\ a_3 \end{array}\right), \\ \sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta})=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2+1 \\ a_3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2+1 \\ b_3 \end{array}\right), \end{gathered}

故

\sigma(\alpha+\beta) \neq \sigma(\alpha)+\sigma(\beta)

所以， $\sigma$ 不是 $\mathbb{R}^3$ 中的线性变换．

定义

$R ^n$ 中的变换 $y =T( x )$ 为 ${ }^T( x )= A x \left( x \in R ^n\right)$ ，对任意的 $\alpha , \beta \in R ^n$ 及任意常数 $\lambda \in R$ ，有

\begin{aligned} & T( \alpha + \beta )= A ( \alpha + \beta )= A \alpha + A \beta =T( \alpha )+T( \beta ), \\ & T(\lambda \alpha )= A (\lambda \alpha )=\lambda A \alpha =\lambda T( \alpha ), \end{aligned}

因此 $T$ 为 $R ^n$ 上的线性变换．