6._向量组等价的几何意义

向量组等价的几何解释

两个向量组 $A$ 和 $B$ 的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。详细地说, 向量组 $A$中的每一个向量都可以被向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示; 同样, 向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每一个向量也可以被向量组 $A$ 线性表示。或者说, 如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中, 那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量组是否线性相关。 根据前面分析的向量组线性表示的几何意义，我们很容易理解向量组等价的几何意义:

两个向量组等价就是两个向量组所扩张成的直线、平面或空间相互重合

下面讨论的是三维空间中向量组的等价关系。

单位为了更好理解向量组的等价，我们先给出一个概念：向量组的秩，他的详细介绍会在 此处

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量共线。 例如含有3个向量的 $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right] \right)$ 因为坐标成比例，所以共线，秩为1，代表的是1维。

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。例如含有3个向量的 $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] \right)$ 前面两个在一条直线上，另外一个是另一个直线，两个直线确定一个平面，所以，秩为2，代表的是2维。

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体 例如含有3个向量的 $\left( \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\0 \end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] ， \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\1 \end{array}\right] \right)$ 这个是标准的笛卡尔坐标，所以这3个向量张成了立体空间，所以秩为3，代表三个向量共体。

以此类推。理解了上面的结论后，下面再进一步细细解释上面的结果。

直线上的等价向量组

如图 4-11 所示的三维空间中, 共有三条分离的不共面直线, 每条直线上分别有两个、三个和四个向量。两向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 在一条直线上; 三向量 $\beta_1 、 \beta_2 、 \beta_3$ 在另外一条直线上; 四向量 $\gamma_1 、 \gamma_2 、 \gamma_3 、 \gamma_4$ 在第三条直线上。

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由此, 我们可以验证以下命题:

$\left\{\alpha_1\right\},\left\{\alpha_2\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\boldsymbol{\beta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right\}$ 是等价向量组;

$\left\{\gamma_1\right\} ...\left\{\gamma_4\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_3\right\} ...\left\{\gamma_3, \gamma_4\right\}$, $\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right\},\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_4\right\},...\left\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

其实上述命题不用验证也可以知道, 因为我们罗列的等价向量组里的向量都包含在一条直线上, 每个向量组都扩张成同一根直线。

从这里不难得出第一个结论：

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为1，就表示这$n$个向量在一条直线内。

如果我们使用更具体的数字来验证，比如有3个向量

因为这些坐标成比例，所以这3个向量的秩为1，所以这3个向量在一条直线上。如果写出这三个向量的矩阵为

可以发现他们的秩正好也为1

平面等价向量组:

类似地, 三维空间中, 我们看看平面上的向量组之间的等价关系。如图 4-12 所示, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 分别所在的三条直线共一平面 (阴影平行四边形), 因此向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 中的任何一类可以被其他两类线性表示, 例如有关系 $\boldsymbol{\alpha}_i=x_1 \boldsymbol{\beta}_i+x_2 \boldsymbol{\eta}_i$ 。

{width=500px} 换句话说, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_i 、 \boldsymbol{\beta}_i 、 \boldsymbol{\eta}_i$ 的任意 $\mathrm{C}_3^2$ 和 $\mathrm{C}_3^3$ 组合的向量组所张成的向量空间都是同一个平面。因此, 所有组合都是等价向量组。具体的等价关系如下:

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2\right\}$,

从这里不难得出第二个结论：

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为2，就表示这$n$个向量在一个平面内。

把上面结论用具体向量来解释，比如有下面2个向量

因为他们的第三个分量都是0，所以，他们在$XOY$平面内，参考下图

如果写出这两个向量的矩阵为

可以发现矩阵的秩为2

三维空间上的向量组

参考图4-12，如果一个平面再加一个平面外的一条直线 $\gamma$ 就是向量组所张成的三维空间, 则不难理解以下等价关系:

{width=500px}

$\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\gamma}_i\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\eta}_i, \gamma_i\right\}$ 是等价向量组, 比如 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \gamma_1\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \gamma_2\right\}$, $\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_2, \gamma_1, \gamma_3\right\},\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \gamma_3, \gamma_4\right\}$ 是等价向量组。

因此，可以得到

假设给你$n$个向量，如果这 $n$ 个向量的秩为3，就表示这$n$个向量组成一个立方体。

通过上面的例子，大致理解了向量组等价的意义。

秩相等不代表可以互相表示

情况1：假设有2个向量共面，如下图， 小提示：此时秩 $r(a_1,a_2)=2$

情况2：假设有4个向量共面，如下图，小提示：此时秩 $r(a_1,a_2,b_1,b_2)=2$ 。

如果记向量组 $A=(a_1,a_2)$, 记向量组 $B=(b_1,b_2)$ ，那么我们可以看到 $r(A)=2$, $r(B)=2$, $r(A|B)=2$ 而且A,B可以互相表示，这样，我们就得到一个结论：

如果向量组 $A$ 的秩 等于向量组 $B$ 的秩，等于 向量组 $A$ 和向量组 $B$ 合起来的秩，那么向量组 $A$ 等价向量组 $B$

但是，他们的逆命题不一定成立，请看下面示意图

$A=(a_1,a_2)$，和 $B=(b_1,b_2)$ ，他们分别在两个平面上，所以肯定不能相互表示，此时，可以看到$r(A)=2$,$r(B)=2$, 而$r(AB)=3$

所以，两个向量组的秩相等，不代表他们可以互相表示。

如何判断2组向量是否等价

通过上面的解释，我们可以得到两个向量组能否线性表示的解决方法:给你两个向量组，把这2个向量组组成一个矩阵，然后判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ 秩是否相等。

例 设

证明向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

证明：向量组 $a _1, a _2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．就是判断 $R(A)=R(B)=R(AB)$ ，为此把AB化为行最简形

对于向量组B的秩虽然可以直接求，但是还可以利用一个性质： $B$的秩小于等于$(AB)$的秩这个结论。

容易看出矩阵 $B$ 中有不等于 0 的 2 阶子式，故 $R( B ) \geqslant 2$ ．又

于是知 $R( B )=2$ ．因此，

故向量组 $a_1, a_2$ 与向量组 $b _1, b _2, b _3$ 等价．

例设向量

向量组 $A: \boldsymbol{a_1, a_2}$ ，向量组 $B: \boldsymbol{b _1, b _2}$

（1）证明向量组 $A$ 与 $B$ 等价；（2）求向量组 $A$ 与 $B$ 的相互线性表示的表示式． 解 先求解（2），若（2）已解出，（1）自然成立．为此，把向量组 $A$ 和 $B$ 合起来成矩阵，并求它的行最简形：

于是，向量 $b_1$ 和 $b_2$ 满足

也即向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示为

其中，矩阵 $K =\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 是上述线性表示的系数矩阵．显然， $K$ 可逆，且 $K ^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right)$ ，于是

具体写出，有

从上知两向量组能相互线性表示，故它们等价．

上面例2的解法跳步比较大，可能有部分同学看不懂，请参考 向量组的等价 进行的解释