6._方差的性质

方差具有下列性质，

1 $D(X)=0$ 的充分必要条件是 $P(X=c)=1$, 即 $X$ 服从参数为 $C$ 的退化分布，其 中 $c=E(X)$ 。特别地，若 $c$ 为常数，则 $D(c)=0$ ； 2 设 $X$ 为随机变量， $k, c$ 为常数，则 $D(k X+c)=k^2 D(X)$ ； 3 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，则

4 设 $X, Y$ 为相互独立的随机变量，则 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$

例 设随机变量 $X \sim B(n, p)$ 。计算 $X$ 的方差 $D(X)$ 。 解 因为 $X \sim B(n, p)$ ，所以 $X=\sum_{i=1}^n U_i$ ，其中 $U_i$ 相互独立同分布，且 $U_i \sim B(1, p), i=1,2, \cdots, n$ 。因为，

那么，由方差的性质得

例已知 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(1,2), Y \sim N(5,9), Z=2 X-Y+3$ ，求 $f(\mathrm{z})$ 由已知及正态分布的可加性定理3.9得 $Z$ 服从正态分布，又由数学期望和方 差的性质知，

故 $\quad Z \sim N(-1,17), f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sqrt{17}} e^{-\frac{(z+1)^2}{2 \times 17}}=\frac{1}{\sqrt{34 \pi}} e^{-\frac{(z+1)^2}{34}}$

例设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布，$Y$ 服从参数为 9的泊松分布，求 $D(X-2 Y+1)$ ．

解 因为 $X$ 服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布，$Y$ 服从参数为 9 的泊松分布，故

根据方差的性质，可得