3._随机变量函数的数学期望 - Probability Theory and Mathematical Statistics

在实际问题中，常常需要求出随机变量函数的数学期望，例如，飞机某部位受到的压力 $F=k V^2$ （其中 $V$ 是风速， $k>0$ 且为常数），如何利用 $V$ 的分布求出 $F$ 的期望？一种方法是先求出 $F$ 的分布，再根据期望定义求出 $E(F)$ ，但一般情况下 $F$ 的分布不容易得到。那么，是否可以不求 $F$ 的分布，而直接由 $V$ 的分布得到 $E(F)$ ？下面的定理可解决此类问题．

随机变量一元函数的期望公式

(1)设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots$ 如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i$ 绝对收敛，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i

(2)设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ，如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收剑，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

\begin{gathered} E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x \\ \end{gathered}

$图片$

随机变量二元函数的期望公式

(1)设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其联合分布律为

P\left(X=a_i, Y=b_j\right)=p_{i j} \quad i, j=1,2, \cdots

如果级数 $\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}$ 绝对收敛，则 $X, Y$ 的二元函数 $g(X, Y)$ 的数学期望为

E[g(X, Y)]=\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}

(2)设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量, 其联合密度函数为 $f(x, y)$ 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$ 绝对收敛，则 $X, Y$ 的二元函数 $g(X, Y)$ 的数学期望为

E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y

例设风速 $V$ 是一个随机变量，它服从 $(0, a)$ 上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力 $F$ 是风速 $V$ 的函数： $F=k V^2$ （常数 $k>0$ ）．求 $F$ 的数学期望．

解因为 $V$ 服从 $(0, a)$ 上的均匀分布，则其概率密度为

f(v)= \begin{cases}\frac{1}{a}, & 0<v<a, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

E(F)=E\left(k V^2\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} k v^2 f(v) \mathrm{d} v=\int_0^a k v^2 \frac{1}{a} \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} k a^2

例 某工厂每天从电力公司得到的电能 $X$ （单位： kW ）服从 $[10,30]$ 上的均匀分布，该工厂每天对电能的需要量 $Y$ （单位： kW ）服从 $[10,20]$ 上的均匀分布，其中 $X$ 与 $Y$ 相互独立．设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得 300 元利润，如工厂用电量超过电力公司所提供的数量，就要使用自备发电机提供的附加电能来补充，使用附加电能时每千瓦电能只能取得 100 元利润．问：一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？

解设 $Z$ 为一天中该工厂获得的利润，由题意得

Z=g(X, Y)= \begin{cases}300 Y, & Y \leqslant X, \\ 300 X+100(Y-X), & Y>X,\end{cases}

即

g(X, Y)= \begin{cases}300 Y, & Y \leqslant X, \\ 200 X+100 Y, & Y>X .\end{cases}

而 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{200}, & 10 \leqslant x \leqslant 30,10 \leqslant y \leqslant 20, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}

故

\begin{aligned} &\begin{aligned} E(Z) & =E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\frac{1}{200}\left[\int_{10}^{20} \mathrm{~d} y \int_{10}^y(200 x+100 y) \mathrm{d} x+\int_{10}^{20} \mathrm{~d} y \int_y^{30} 300 y \mathrm{~d} x\right] \approx 4333 \quad(\text { 元 }), \end{aligned}\\ &\text { 即该工厂一天中获得利润的数学期望是 } 4333 \text { 元．} \end{aligned}

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