4._数学期望的性质 - Probability Theory and Mathematical Statistics

数学期望的性质

01 设 $c$ 为常数，则 $E(c)=c$ 02 设 $X$ 为随机变量，且 $E(X)$ 存在， $k, c$ 为常数，则 $E(k X+c)=k E(X)+c$ ； 03 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ； 04 设 $X, Y$ 为相互独立的随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X Y)=E(X) E(Y)$ ．

证明：略。

例 已知随机变量 $X \sim N\left(5,10^2\right)$ ，求 $Y=3 X+5$ 的数学期望 $E(Y)$ ．解由于 $X$ 服从正态分布 $N\left(5,10^2\right)$ ，则 $E(X)=5$ 。由数学期望的性质得

E(Y)=E(3 X+5)=3 E(X)+5=20

例 设一电路中电流 $I(\mathrm{~A})$ 与电阻 $R(\Omega)$ 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f_I(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, } \end{array} \quad f_R(y)= \begin{cases}\frac{y^2}{9}, & 0 \leqslant y \leqslant 3, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.

试求电压 $U=I R$ 的数学期望．解因为 $I$ 与 $R$ 相互独立，所以根据数学期望的性质，有

\begin{aligned} E(U) & =E(I R)=E(I) \cdot E(R)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_I(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} y f_R(y) \mathrm{d} y \\ & =\int_0^1 2 x^2 \mathrm{~d} x \cdot \int_0^3 \frac{y^3}{9} \mathrm{~d} y=\frac{3}{2}(\mathrm{~V}) \end{aligned}

例 某公司生产的机器其无故障工作时间 $X$ (单位: 万小时)的密度函数为

f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x^2}, x \geq 2, \\ 0, \text { 其他. } \end{array}\right.

公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费 400 元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。解 $Y$ 表示每台机器的获利（单位: 百元)，则

Y=\left\{\begin{array}{cc} 16-12, & 2 \leq X<2.2 \\ 16-4, & 2.2 \leq X<3 \\ 16, & X \geq 3 \end{array}\right.

$Y$ 是 $X$ 的函数，令 $Y=g(X)$ 由随机变量函数的数学期望公式得平均获利为

\begin{aligned} E(Y) & =\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x=\int_2^{22} 4 \cdot \frac{2}{x^2} d x+\int_{22}^3 12 \cdot \frac{2}{x^2} d x+\int_3^{+\infty} 16 \cdot \frac{2}{x^2} d x \\ & =8 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_2^{22}+24 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_{22}^3+32 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_3^{+\infty}=13 \frac{31}{33} \approx 13.94 \text { (百元) } \end{aligned}

故，该公司售出每台机器的平均获利为 1394 元.