19._最大值_最小值的分布与瑞利分布 - Probability Theory and Mathematical Statistics

最大值，最小值的分布

设随机变量 $X, ~ Y$ 相互独立，其分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ ．求 $M=\max (X, Y)$ 及 $N=\min (X, Y)$ 的分布。

由于 $M=\max (X, Y)$ 不大于 $z$ 等价于 $X$ 和 $Y$ 都不大于 $z$ ，则有

P(M \leqslant z)=P(X \leqslant z, Y \leqslant z)

又因为随机变量 $X, ~ Y$ 相互独立，故有

\begin{aligned} F_M(z) & =P(M \leqslant z)=P(X \leqslant z, Y \leqslant z) \\ & =P(X \leqslant z) P(Y \leqslant z)=F_X(z) F_Y(z) \end{aligned}

类似地，可得 $N=\min (X, Y)$ 的分布函数

\begin{aligned} F_N(z) & =P(N \leqslant z)=1-P(N>z)=1-P(X>z, Y>z) \\ & =1-P(X>z) P(Y>z)=1-\left[1-F_X(z)\right]\left[1-F_Y(z)\right] . \end{aligned}

将以上结果推广到 $n$ 个相互独立的随机变量的情况，则有下列结论成立：

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_{X_i}\left(x_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，则 $M=\max \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 及 $N=\min \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的分布函数分别为

\begin{gathered} F_M(z)=F_{X_1}(z) F_{X_2}(z) \cdots F_{X_n}(z) \\ F_N(z)=1-\left[1-F_{X_1}(z)\right]\left[1-F_{X_2}(z)\right] \cdots\left[1-F_{X_n}(z)\right] . \end{gathered}

特别地，当 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是相互独立且有相同分布函数 $F(x)$ 时，有

\begin{gathered} F_M(z)=[F(z)]^n ; \\ F_N(z)=1-[1-F(z)]^n . \end{gathered}

例 一系统中有 3 个同种型号的半导体元件，设其寿命为 $X_i(i=1,2,3)$ ，寿命的概率密度为

f(x)= \begin{cases}\theta \mathrm{e}^{-\theta x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}

其中 $\theta>0$ ．求在并联与串联两种情况下系统寿命的概率密度．解在并联情况下，系统的寿命是半导体元件 $X_1, X_2, X_3$ 中寿命最大的；在串联情况下，系统的寿命是半导体元件 $X_1, X_2, X_3$ 中寿命最小的．

由题意知， $X_1, X_2, X_3$ 同分布，且分布函数均为

F(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\theta x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

令 $M=\max \left\{X_1, X_2, X_3\right\}$ ，则 $M$ 为并联时系统的寿命。

\begin{aligned} F_M(z) & =[F(z)]^3 \\ & = \begin{cases}\left(1-\mathrm{e}^{-\theta z}\right)^3, & z>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} \end{aligned}

于是 $M$ 的概率密度为

f_M(z)=F_M^{\prime}(z)= \begin{cases}3 \theta \mathrm{e}^{-\theta z}\left(1-\mathrm{e}^{-\theta z}\right)^2, & z>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

令 $N=\min \left\{X_1, X_2, X_3\right\}$ ，则 $N$ 为串联时系统的寿命．

\begin{aligned} F_N(z) & =1-[1-F(z)]^3 \\ & = \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-3 \theta z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} \end{aligned}

于是 $N$ 的概率密度为

f_N(z)=F_N^{\prime}(z)= \begin{cases}3 \theta \mathrm{e}^{-3 \theta z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

例 设 $X, ~ Y$ 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，求 $Z=\max \{X, Y\}$ 的密度函数。

解设 $X, ~ Y$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则

F(x)= \begin{cases}1-e^{-x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{cases}

由于 $Z$ 的分布函数为

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P(X \leqslant z, Y \leqslant z)=P(X \leqslant z) P(Y \leqslant z)=F^2(z),

所以， $Z$ 的密度函数为

f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z)=2 F(z) F^{\prime}(z)= \begin{cases}2 e^{-z}\left(1-e^{-z}\right), & z \geqslant 0 \\ 0, & z<0\end{cases}

例设 $X, ~ Y$ 相互独立，且都服从 $N\left(0, \sigma^2\right)$ ，求 $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ 的密度函数．解先求分布函数

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leqslant z\right) .

当 $z \leqslant 0$ 时， $F_Z(z)=0$ ；当 $z>0$ 时，

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leqslant z\right)=\iint_{\sqrt{x^2+y^2} \leqslant z} \frac{1}{2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2 \sigma^2}} d x d y .

进行极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta(0 \leqslant r \leqslant z, 0 \leqslant \theta<2 \pi)$ （见图 3．5．2），于是有

F_Z(z)=\frac{1}{2 \pi \sigma^2} \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^z r e^{-\frac{r^2}{2 \sigma^2}} d r=1-e^{-\frac{z^2}{2 \sigma^2}}

$图片$

故所求 $Z$ 的密度函数为

f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z)= \begin{cases}\frac{z}{\sigma^2} e^{-\frac{z^2}{2 \sigma^2}}, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}

此分布称为瑞利（Rayleigh）分布，它很有用。例如，炮弹着点的坐标为 $(X, Y)$ ，设横向偏差 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ，纵向偏差 $Y \sim N\left(0, \sigma^2\right), ~ X, ~ Y$ 相互独立，那么弹着点到原点的距离 $D$ 便服从瑞利分布，瑞利分布还在噪声，海浪等理论中得到应用。