8.0 导引

假定有 $n \geqslant 2$ 个城市 $C_1, \cdots, C_n$ ，它们之间的人口流动情况如下所述：对所有 $i \neq j$ ，每天上午8：00同时从 $j$ 城到 $i$ 城去的流动人口的正常比率是 $a_{ij}$ ， $j$ 城的流动人口仍留在 $j$ 城的比率是 $a_{ij}$ 。因此，如果用 $p_i^{(m)}$ 表示第 $m$ 天 $i$ 城的人口数，则有第 $m$ 天与第 $m+1$ 天之间的人口分布递归关系

p _ {i} ^ {(m + 1)} = a _ {i i} p _ {i} ^ {(m)} + \dots + a _ {i n} p _ {n} ^ {(m)}, \quad i = 1, \dots , n, \quad m = 0, 1, \dots .

如果用 $A = [a_{ij}]$ 表示由人口流动系数组成的 $n \times n$ 矩阵，且用 $p^{(m)} = [p_i^{(m)}}$ 表示人口分布向量，则

p ^ {(m + 1)} = A p ^ {(m)} = A A p ^ {(m + 1)} = \dots = A ^ {m + 1} p ^ {(n)}, \quad m = 0, 1, \dots ,

其中 $p^{(0)}$ 是初始人口分布向量。因为系数 $a_{ij}$ 表示流动人口比率，所以，对每个 $j = 1, 1, \dots, n$ ，有 $0 \leqslant a_{ij} \leqslant 1$ ，且 $\sum_{i=1}^{n} a_{ii} = 1$ 。

为了对城市服务以及资金投入作出切合实际的长远规划，行政人员想知道，从现在到遥远的将来，总的人口 $p = \sum_{i=1}^{n} p_i^{(i)}$ 将如何分布；即他们想知道，对大的 $m$ ， $p^{(m)}$ 的渐近变化过程。但是，因为 $p^{(m)} = \Lambda^m p^{(i)}$ ，所以显然必须考察 $\Lambda^{(m)}$ 的渐近变化过程。

例如，详细考虑 $n = 2$ 的情形．因为 $a_{11} \mid a_{21} = 1 = a_{12} \mid a_{22}$ ，如果记 $a_{21} = \alpha$ 和 $a_{12} = \beta$ ，则有

A - \left[ \begin{array}{l l} 1 - \alpha & \beta \\ \alpha & 1 - \beta \end{array} \right],

我们想知道，对大的 $m$ ， $A^m$ 等于什么？如果 $\pmb{A}$ 是可对角化的，则可以直接计算 $A^{m}$ ，从计算 $\pmb{A}$ 的特征值开始： $\lambda_{?} = 1$ 和 $\lambda_1 = 1 - \alpha -\beta .$ 因为 $0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1$ ，所以 $\lambda_{2} = 1\geqslant |\lambda_{1}| = |1 - \alpha -\beta |$ 于是有 $1 = |\lambda_2| = \rho (A)$ 且 $A$ 的谱半径是 $A$ 的一个特征值．另外，除了在 $\alpha = \beta = 0$ 的平凡情形（在这种情形， $A$ 是可约矩阵)以外，我们看到 $\lambda_{2} = \rho (A)$ 是 $A$ 的单重特征值.

如果 $\alpha + \beta \neq 0$ ，相应的特征向量是 $x = [\beta, \alpha]^T$ （对于 $\lambda_0 = 1$ ）和 $z = [1, -1]^T$ （对于 $\lambda_1$ ），所以在这种情形 $A$ 是可对角化的且 $A = SAS^{-1}$ ，其中

\Lambda = \left[ \begin{array}{l l} 1 & 0 \\ 0 & 1 - \alpha - \beta \end{array} \right], \quad S = \left[ \begin{array}{l l} \beta & 1 \\ \alpha & - 1 \end{array} \right] \quad \text {和} \quad S ^ {- 1} = \frac {1}{\alpha + \beta} \Big [ \begin{array}{l l} 1 & 1 \\ \alpha & - \beta \end{array} \Big ].

注意，如果 $A$ 是不可约的，则特征向量 $x$ 的分量是非负的和正的。

如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 不都是1，则 $|\lambda_1| = |1 - \alpha \cdot \beta| < 1$ ，因而当 $m \to \infty$ 时 $\lambda_1^{m} \to 0$ 。因此，在这种情形，有

\lim _ {m \rightarrow} A ^ {m} = S (\lim _ {m \rightarrow} A ^ {m}) S ^ {- 1} = S \left[\begin{array}{l l}1&0\\0&0\end{array}\right] S ^ {\prime} - \frac {1}{\alpha + \beta} \left[\begin{array}{l l}\beta&\beta\\\alpha&\alpha\end{array}\right],

因而平衡人口分布是

\lim _ {m \rightarrow \infty} p ^ {(m)} = \frac {1}{\alpha + \beta} \left[\begin{array}{l l}\beta&\beta\\\alpha&\alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}p _ {1} ^ {(0)}\\p _ {2} ^ {(0)}\end{array}\right] = \frac {1}{\alpha + \beta} \left[\begin{array}{l}\beta\\\alpha\end{array}\right].

注意，平衡分布完全与初始分布无关。矩阵 $A^{m}$ 趋近于一个极限，这个极限的各列与相应于特征值1（它是 $A$ 的谱半径）的特征向量 $\pmb{x}$ 成正比，而极限人口分布与这同一个特征向量成正比。

对于上面没有处理的两种例外情形不难逐一分析。如果 $\alpha = \beta = 0$ ，则 $A = I$ ， $\lim_{m \to \infty} A^m = I$ ，且 $\lim_{m \to \infty} p^{(m)} = p^{(0)}$ ，所以极限分布与初始分布不是无关的。

如果 $\alpha = \beta \div 1$ ，则 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 且两个城市逐日调换它们的全部人口。A 的幂不趋近于一个极限，并且，如果初始人口分布是不平衡的，则人口分布也无极限。但是，在“均值平衡”的意义下，它们都可达到一个极限，即

\lim _ {m \to \infty} {\frac {1}{m}} \sum_ {k = 1} ^ {m} A ^ {k} = {\left[ \begin{array}{l l} {. 5} & {. 5} \\ {. 5} & {. 5} \end{array} \right]} \quad {\text {和}} \quad \lim _ {m \to \infty} {\frac {1}{m}} \sum_ {k = 1} ^ {m} p ^ {(k)} = {\frac {p _ {1} ^ {(0)} + p _ {2} ^ {(0)}}{2}} {\left[ \begin{array}{l} {1} \\ {1} \end{array} \right]}.

总之，从这个例子得知， $\rho(A) = 1$ ，并且：

谱半径 $\rho(A) = 1$ 本身是 $A$ 的特征值，而它不只是特征值的绝对值。
相应于特征值 $\rho(A)$ 的特征向量 $x$ 可以取非负分量，如果 $A$ 是不可约的，则分量是正的。
如果 $A$ 的所有元都是正的，则 $\rho(A)$ 是具有严格最大模的单重特征值。
如果 $A$ 的所有元是正的，则 $\lim_{\pi \to \infty}[A / \rho(A)]^m$ 存在，且是秩1矩阵，它的所有列与特征向量 $x$ 成正比。
在所有情形 $\lim_{m\to \infty}(1 / m)\sum_{k = 1}^{m}(A / \rho (A))^k$ 存在.

实际上这些结论一般对 $n \geqslant 2$ 是成立的，不过用上而所述的简单而直接的方法不可能分析研究一般情形。例如，当 $n \geqslant 2$ 时，即使 $A$ 的所有元素都是正的， $A$ 也不一定可对角化。这就需要新的工具，这正是本章的其余部分要阐述的内容。

习题

证明，矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 有谱半径 1，但是当 $m \to \infty$ 时 $A^m$ 无界。
考虑矩阵

A _ {\varepsilon} = \left[ \begin{array}{l l} \frac {1}{1 + \varepsilon} & \frac {1}{1 + \varepsilon} \\ \frac {\varepsilon^ {2}}{1 + \varepsilon} & \frac {1}{1 + \varepsilon} \end{array} \right], \quad \varepsilon > 0.

(a) 证明, $\lambda_{2} = 1$ 是 $A_{\epsilon}$ 的单重特征值, $\rho(A) = \lambda_{2} = 1$ , 且 $1 > |\lambda_{1}|$ . (b) 证明

x = \frac {1}{1 + \varepsilon} \Big [ _ {\varepsilon} ^ {1} \Big ] \quad \text {和} \quad y = \frac {1 + \varepsilon} {2 \varepsilon} \Big [ _ {1} ^ {\varepsilon} \Big ]

分别是 $A_{\varepsilon}$ 和 $A_{\varepsilon}^{\mathrm{T}}$ 相应于特征值 $\lambda = 1$ 的特征向量．(c)直接计算 $A_{\varepsilon}^{m}$ ， $m = 1$ ，2，….(d)证明

\lim _ {m \rightarrow}, A _ {\varepsilon} ^ {m} = \frac {1}{2} \left[\begin{array}{l l}1&\varepsilon^ {1}\\\varepsilon&1\end{array}\right].

(e)计算 $xy^T$ ，并作出说明．(f)如果 $\varepsilon \to 0$ ，会出现什么情形？提示：令 $B_{\varepsilon} = (1 + \varepsilon)A_{\varepsilon}$ ，然后如正文中那样对角化 $B_{\varepsilon}$

从人口自由流动的观点来说明，由城市间的人口流动系数组成的一般矩阵是不可约的意味着什么。
对于在本节中所讨论过的两个城市的例子，试证明，在 $\alpha = \beta = 0$ 以及 $\alpha + \beta \neq 0$ 的情形下 $\lim_{m \to \infty} (1 / m) \sum_{k=1}^{m} A^k$ 存在。在每种情形下的极限各是什么？

进一步阅读关于正定矩阵和非负矩阵的性质的丰富信息，以及许多理论与应用的参考文献可见[BPI]和[Sen]. 在[Var]中，有一个特别注重数值分析应用的关于非负矩阵的诸多结果的综述.

8.0_导引

8.0 导引

习题