5.2 向量范数的例子

下面所列举的是一些常见的向量范数的例子.

5.2.1 $\mathbf{C}^n$ 上的Euclid范数（或 $l_{2}$ 范数）是

\| x \| _ {2} \equiv (| x _ {1} | ^ {2} + \dots + | x _ {n} | ^ {2}) ^ {1 / 2}.

这也许是大家最熟悉的向量范数，这是因为 $\| x - y\| _2$ 能度量两点 $x,y\in \mathbf{C}^n$ 之间的标准Euclid距离．这个范数还是由普通的Euclid内积导出的；即 $\| x\| _2^2 -\langle x,x\rangle = x^* x.$

练习验证 $\| x\| _2$ 是 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数.

练习范数 $\| \cdot \|$ 称为酉不变的，是指 $\| U_x \| = \| x \|$ 对所有 $x \in \mathbb{C}^n$ 和所有酉矩阵 $U \in M_n$ 成立。证明 Euclid 范数 $\| \cdot \|$ 是酉不变的。

5.2.2 $\mathbf{C}^n$ 上的和范数（或 $l_{1}$ 范数）是

\left\| x \right\| _ {1} = \left\{x _ {1} + \dots + \left. x _ {n} \right\|. \right.

因为其长度只是沿各坐标方向的直线度量，这个范数也称为1一范数或更风趣地称为Manhattan范数.

练习验证和范数是 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数，但不是由内积导出的。提示：利用(5.1.8)。

5.2.3 $\mathbf{C}^n$ 上的极大范数（或 $l_{\infty}$ 范数）是

\| x \| _ {0} = \max \left\{\left| x _ {1} \right|, \dots , \left| x _ {n} \right| \right\}.

练习证明 $\| \cdot \|_{\infty}$ 是 $\mathbf{C}^{n}$ 上的向量范数.

练习 $\| \cdot \|_{\infty}$ 是由内积导出的吗？

5.2.4 $\mathbf{C}^n$ 上的 $l_{p}$ 范数是

\| x \| _ {p} = \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} | x _ {i} | ^ {p}\right) ^ {1 / p}, p \geqslant 1.

练习验证。对于 $p \geqslant 1$ ，每个 $l_p$ 范数是 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数，且对于每个 $x \in \mathbf{C}^n$ ， $\| x \|_p = \lim_{p \to \infty} \| x \|_p$ 。提示：只有三角不等式是较难验证的公理。关于 $l_p$ 范数的三角不等式是称之为Minkowski 不等式的经典不等式。

练习给出一个不是 $l_{p}$ 范数的向量范数的例子.

上述各个向量范数的例子都是 $\mathbf{C}^n$ 上的范数，不过还能用它们来构造任意有限维实或复向量空间 $V$ 上的向量范数，如果 $\beta = \{b^{1},\dots ,b^{(n)}\}$ 是 $V$ 的基，则

x \rightarrow [ v ] _ {s} \equiv \left[\begin{array}{c}x _ {1}\\\vdots\\x _ {n}\end{array}\right] \in \mathbf {C} ^ {n}. x = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} b ^ {(i)}

是 $V$ 到 $\mathbf{C}^n$ 上的同构．如果 $\mid \cdot \mid$ 是 $\mathbf{C}^n$ 上的任一向量范数，则不难证明

\left\| x \right\| _ {A} = \left\| [ x ] _ {A} \right\| = \left\| [ x _ {1}, \dots , x _ {n} ] ^ {T} \right\|, x = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} b ^ {(i)}

是 $V$ 上的向量范数.

练习验证最后一个结论.

称矩阵 $B \in M_{\pi}$ 是关于 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数 $\|\cdot\|$ 的一个等距变换，是指

\| R x \| = \| x \|

对所有 $x \in \mathbf{C}^n$ 成立.

练习证明，关于任何向量范数的等距变换一定是非奇异矩阵。

练习证明，关于给定的向量范数的各个变换等距所组成的矩阵集合构成一个群（称为该范数的等距变换群）。除了酉矩阵以外，对 $\| \cdot \|_2$ ，还存在任何等距变换吗？

练习证明，和范数的等距变换群是所有那样一些矩阵组成的集合(群)，这些矩阵看上去像置换矩阵，只是其中的元素“+1”用绝对值为1的任意复数来代替。

练习极大范数的等距变换群是什么？

向量范数的定义并未要求向量空间 $V$ 是有限维的。例如，空间 $V$ 可能是实区间 $[a, b]$ 上的所有实或复值连续函数构成的向量空间 $\mathbb{C}[a, b]$ 。

5.2.5 例 $C[a, b]$ 上的某些范数例子类似于已经对 $\mathbf{C}^n$ 定义的诸范数。例如，

\begin{array}{l} \| f \| _ {2} \equiv \left[ \int_ {\omega} ^ {b}: f (t) \left\| ^ {2} \mathrm {d} t \right. \right] ^ {1 - 2}. \quad L _ {2} \text {范 数}; \\ \| f \| _ {1} \equiv \int_ {a} ^ {b} | f (t) | \mathrm {d} t, \qquad \qquad L _ {1} \text {范 数}; \\ \| f \| _ {p} \equiv \left[ \int_ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \mathrm {d} t \right] ^ {i p}, p \geqslant 1, \quad L _ {p} \text {范 数}; \\ \| f \| _ {\cdot} \equiv \max \{| f (x) ^ {1}: x \in [ a, b ] \}, \qquad \qquad I. \text {范 数}; \\ \end{array}

它们都是 $[a, b]$ 上的范数.

习题

证明，如果 $0 < p \leqslant 1$ ，则(5.2.4)定义 $\mathbf{C}^n$ 上的一个函数，除了向量范数的一条公理以外，这个函数满足所有的公理。它不满足哪条公理？试给一个例子。
设 $f \in C[0,1]$ ，证明 $\left| f \right| = \lim_{n \to \infty} \left| f \right|$ 。
关于 $C[0,1]$ 上的 $\|\cdot\|_{p}$ ，其三角不等式看来与什么一样？对于 $C^{n}$ ，如何从Minkowski不等式(附录B)出发去证明这个三角不等式。

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设 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 是给定的正实数。下面哪一个是个 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数？

(a) $\| x\| = \sum_{i = 1}^{n}p_{i}\mid x_{i}\mid ,$
(b) $\| x\| = \left(\sum_{i = 1}^{n}p_{i}\mid \alpha_{i}\right)^{1 / 2},$
(c) $\| x\| = \max \{p_1|x_1|,\dots ,p_n|x_n|\}$

设 $x_0 \in [a, b]$ 是给定的点，证明，如果 $a < b$ ，则 $C[a, b]$ 上的函数 $\|f\|_{\tau_0} \equiv |f(x_0)|$ 是半范数而不是范数。
如果 $\| \cdot \|$ 是 $\mathbf{C}^n$ 上的酉不变向量范数，证明， $\| \cdot \| = \alpha \| \cdot \|_2$ 对某个 $\alpha > 0$ 成立， $H \| \cdot \|_2$ 是使 $\| e_1 \| - 1$ 的唯一酉不变向量范数。
证明， $\| y \|_{1} - \max_{|x|_{1} = 1} |y^{*}x^{*}$ 且 $|x|_{1} = \max_{\| x \|_{1}} |x^{*}y|$ .
试用前面的练习证明，如果 $A^*$ 在和范数的等距变换群中，则 $A$ 在极大范数的等距变换群中，反之亦然。
所有 $L_{p}$ 范数的所有等距变换群的交是什么？

进一步阅读关于Minkowski和Holder的经典不等式的详细讨论可参看[BB].

5.2_向量范数的例子

5.2 向量范数的例子