5.1 向量范数和内积的定义性质

我们先考虑向量空间上的范数。由于 $M_{n}$ 是向量空间，要做的一切也将适用于矩阵范数。

一个函数如果是范数，它需要具备哪些性质。为了说明这个问题，对熟知的(实或复)纯量的绝对值概念进行抽象。当然，一个值得注意的差别是，绝对值函数是实变量或复变量的实值函数，而我们要求范数是描述一个向量的多元实值函数。 $\mathbf{C}^n$ 上的这样一个函数是Euclid长度 $(z^{*}z)^{1/2}$ ，但是还有另一些函数也具有Euclid长度的某些基本性质，并且在某些场合可能是更为合适的度量，它们可能提供另外的信息，或者在某些内容中使用起来可能更为方便。

在整个这一章中，只考虑实或复向量空间．所有的主要结果对这两个域都成立，不过在每一个结果中，它必须与所采用的那个域相一致．我们常用域 $\mathbf{F}$ （一开始就视 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ )叙述各个结果，之后，在余下的论述中涉及的是同一个域 $\mathbf{F}$

5.1.1 定义 设 $V$ 是域 $\mathbf{F}(\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C})$ 上的向量空间。函数 $\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}$ 称为向量范数，是指对所有 $x, y \in V$ 有以下性质：

(1) $\| x \| \geqslant 0$ , 非负性;
(1a) $\| x \| = 0$ 当且仅当 $x = 0$ , 正定性;
(2) $\| c x \| = |c| \| x \|$ 对所有纯量 $c \in \mathbf{F}$ 成立，齐次性；
(3) $\| x + y \| \leqslant \| x \| + \| y \|$ , 三角不等式.

这四条公理是大家所熟悉的平面上的Euclid长度的几个性质．Euclid长度还具有另外一些性质，这些性质与这四条公理是独立无关的[例如，平行四边形恒等式(5.1.8)]，因为它们对于一般的理论并不是必不可少的，所以没有把它作为公理.

一个函数如果满足公理(1)，（2），（3）但不一定满足(1a)，就称之为向量半范数。半范数在允许某些非零向量有零长度方面推广了范数概念。

5.1.2 引理 如果 $\| \cdot \|$ 是 $V$ 上的向量半范数，则

对所有 $x, y \in V$ 成立.

证明：因为 $y = x + (y - x)$ ，由三角不等式和齐次性公理(2)，有

由此可知

又因为 $x = y + (x - y)$ ，所以再由三角不等式有

因而

因此我们证明了 $\pm (\| x \| - \| y \|) \leqslant \| x - y \|$ ，它等价于引理的论断。

与 $\mathbf{C}^n$ 上Euclid长度相关的概念是通常的Euclid内积 $y^{*}x$ （有时叫做“点积”），它有一些性质与两个向量间的“夹角”有关：如果 $y^{*}x = 0$ ，那么 $x$ 与 $y$ 正交．正象对向量范数所做的那样，可以抽象出Euclid内积的几个本质特征，并且用它们作为一般内积理论的公理.

5.1.3 定义 设 $V$ 是域 $\mathbf{F}(\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C})$ 上的向量空间，函数 $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbf{F}$ 是一个内积，是指对所有 $x, y, z \in V$ ，有

(1) $\langle x, x \rangle \geqslant 0$ 非负性；
(1a) $\langle x, x \rangle = 0$ 当且仅当 $x = 0$ , 正定性;
(2) $\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle,$ 可加性；
(3) $\langle c x, y \rangle = c \langle x, y \rangle$ 对所有纯量 $c \in \mathbf{F}$ 成立，齐次性；
(4) $\langle x, y \rangle = \langle \overline{y \cdot x} \rangle$ , Hermite 性.

练习 证明 Euclid 内积 $\langle x, y \rangle = y^*x$ ；满足关于内积的所有上述四个公理。

练习 设 $D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ ，考虑函数 $(x, y) \equiv y^{\star} D x$ ， $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 满足关于内积的哪几条公理？ $D$ 在什么条件下 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 才是内积？

练习 由定义(5.1.3)的四条公理推导内积的下述性质：

(a) $\langle x, cy \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle$ ;
(b) $\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle$ ;
(c) $\langle ax + by, cw + dz \rangle = a\bar{c} \langle x, w \rangle + b\bar{c} \langle y, w \rangle + d\bar{a} d \langle x, z \rangle + bd \langle y, z \rangle$
(d) $\langle x, y \rangle = 0$ 对所有 $y \in V$ 成立，当且仅当 $x = 0$
(e) $\langle x, \langle x, y \rangle y \rangle = | \langle x, y \rangle|^2$ .

所有内积都共有的重要性质是Cauchy-Schwarz不等式.

5.1.4 定理 (Cauchy-Schwarz 不等式) 如果 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是域 $\mathbf{F}(\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ ) 上的向量空间 $V$ 上的内积, 则

对所有 $x, y \in \mathbb{F}$ 成立。等式成立当且仅当 $x$ 与 $y$ 线性相关，即对某个 $a \in \mathbb{F}$ 有 $x = ay$ 或 $y = ax$ .

证明：设 $x, y \in V$ 是给定的。如果 $y = 0$ ，则结论显然成立，所以可以假定 $y \neq 0$ 。设 $t \in \mathbb{R}$ ，考虑 $p(t) \equiv \langle x + ty, x + ty \rangle = \langle x, x \rangle + t\langle y, x \rangle + t\langle x, y \rangle + t^2\langle y, y \rangle = \langle x, x \rangle + 2t\operatorname{Re}\langle x, y \rangle + t^2\langle y, y \rangle$ ，它是实系数二次多项式。由公理(5.1.3(1))得知，对所有实数 $t$ ， $p(t) \geq 0$ ，因而 $p(t)$ 不能有实的单根。因此， $p(t)$ 的判别式一定是非正的，即

因而

因为这个不等式对任一对向量都成立，所以当用 $\langle x, y \rangle y$ 代替 $y$ 时它也一定成立。于是还有不等式

但是， $\operatorname{Re}\langle x, \langle x, y \rangle y \rangle = \operatorname{Re}\langle \overline{x}, \overline{y} \rangle \langle x, y \rangle = \operatorname{Re}|\langle x, y \rangle|^2 = |\langle x, y \rangle|^2$ ，因此

如果 $(x, y) = 0$ ，则定理的结论是显然的；否则可以用数 $|x, y|^2$ 除(5.1.6)两边得到所要证的不等式。因为公理(1a)，所以仅当 $x + ty = 0$ 对某个 $t$ 成立时 $p(t)$ 才有一个实(二重)根。因此，在判别条件(5.1.5)中等式能够成立，当且仅当 $x$ 和 $y$ 线性相关。

5.1.7 推论 如果 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $V$ 上的向量内积，则 $\| x \| \equiv (\langle x, x \rangle)^{1/2}$ 是 $V$ 上的向量范数。

练习 证明(5.1.7). 提示: 只有一角不等式的验证不明显. 计算 $\left\| x + y \right\|^2$ , 然后利用 Cauchy-Schwarz 不等式.

如果 $\| \cdot \|$ 是适合 $\| x \| = \langle x, x \rangle^{1/2}$ 的向量范数，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 为某个内积，就称该向量范数可由内积（即 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ ）诱导。

习题

1. 设 $\epsilon_{i}$ 表示 $\mathbf{C}^{n}$ 中的第 $i$ 个单位坐标向量且假定 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbf{C}^{n}$ 上的一个向量半范数，证明

1. 如果 $\| \cdot \|$ 是 $V$ 上的一个向量半范数，证明 $V_{\mathrm{n}} = \{v \in V: \| v \| = 0\}$ 是 $V$ 的一个子空间（称为关于 $\| \cdot \|$ 的零空间）．(a) 如果 $V_{1}$ 是 $V$ 的适合 $V_{\mathrm{n}} \cap V_{1} = \{0\}$ 的任一子空间，证明 $\| \cdot \|$ 是 $V_{1}$ 的一个向量范数．(b) 考虑用

定义的关系 $x \sim y$ 。证明， $\sim$ 是 $V$ 上的一个等价关系，而这个等价关系的诸陪集具有形式 $\hat{x} = \{x + y \in V : y \in V_0\}$ ，并且这些陪集的集合以一种自然的方式构成一个向量空间。证明，函数 $\| \hat{x} \| = \{\| x \| : x \in \hat{x}\}$ 是有意义的，并且是诸陪集组成的向量空间上的一个向量范数。（c）说明与每个向量半范数有关的自然范数为什么存在。（d） $\| x \| = 0$ 是半范数吗？（e）给出一个不是范数的非平凡半范数的例子。

1. 证明，如果定义两个非零向量间的夹角是介于0与 $\pi /2$ 之间的值

则这个夹角概念对任何内积都是有意义的.

1. 证明，如(5.1.7)中由内积诱导的向量范数一定满足平行四边形恒等式

为什么这个恒等式得此名称？事实上，等式(5.1.8)是一个给定的范数可由内积诱导的必要充分条件。见习题10。

1. 考虑定义在 $\mathbf{C}^n$ 上的函数 $\| x\|_{\infty} = \max_{1\leq i,j\leq n}|x_i|$ 。证明 $\| \cdot \|_{\infty}$ 是不能由任何内积导出的向量范数。

2. 如果 $\|\cdot\|$ 是由内积 $(\cdot, \cdot)$ 诱导的向量范数，证明

称这个等式为极化恒等式，同时证明

1. 证明， $\mathbf{C}^n$ 上的 $l_1$ 范数 $\| x \| \equiv |x_1| + \dots + |x_n|$ 适合公理(5.1.1)，但不适合极化等恒式(5.1.9). 因此，它不是由任何内积导出的.

2. 如果 $\| \cdot \|$ 是由一个内积诱导的 $V$ 上的向量范数，则

对所有 $x, y \in V$ 成立. 什么时候等式成立? 这个不等式对所有向量范数都成立吗? 给出这个不等式的几何解释.

1. 设 $x$ 和 $y$ 是 $V$ 中给定的向量， $V$ 有一个由内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 诱导的范数 $\| \cdot \|$ ，并且假定 $y$ 是非零的。证明，使 $\| x - \alpha y \|$ 的值达到极小的纯量 $\alpha_{0}$ 是 $\alpha_{0} = \langle x, y \rangle / \| y \|^{2}$ ，并且 $x - \alpha_{0} y$ 与 $y$ 正交。

2. 不难证明（但也有一些技巧），平行四边形恒等式(5.1.8)是一个给定的范数可由内积诱导的充分条件。首先考虑 $\mathbb{R}$ 上的一个向量空间。设 $\|\cdot\|$ 是 $V$ 上一个给定的范数。（a）定义

证明，用这种方法定义的 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 满足（5.1.3）中的公理（1），（1a）和（4），且 $\langle x, x \rangle = \| x \|^2$ 。（b）利用(5.1.8)证明

由此得出，它也满足(5.1.3)中的可加性公理(2). (c)利用可加性公理证明， $\langle nx, y \rangle = n \langle x, y \rangle$ 且 $m \langle m^{-1}nx, y \rangle = \langle nx, y \rangle = n \langle x, y \rangle$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是非负整数．利用(5.1.8)以及(5.1.10)证明 $\langle -x, y \rangle = -\langle x, y \rangle$ ，由此得出 $\langle a_{t}, y \rangle = a \langle x, y \rangle$ ，其中 $a \in \mathbb{R}$ 是有理数．(d)设 $p(t) = t^2 \| x \|^2 + 2t \langle x, y \rangle + \| y \|^2$ ， $t \in \mathbb{R}$ ，然后证明，若 $t$ 为有理数，则 $p(t) = \| tx + y \|^2$ ，由 $p(t)$ 的连续性推出，对所有 $t \in \mathbb{R}$ ， $p(t) \geqslant 0$ 。根据 $p(t)$ 的判别式一定是非正的事实推出 Cauchy-Schwarz 不等式 $|\langle x, y \rangle|^2 \leqslant \| x \|^2 \| y \|^2$ 。(e)现在设 $a \in \mathbb{R}$ 是给定的，证明

对任何有理数 $b$ 成立，并且可以使上界任意地小。由此得出(5.1.10)满足(5.1.3)中的齐次性公理(3)。这就证明了 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $V$ 上的一个内积。

细心的读者会注意到，在上述论证中关于范数 $\|\cdot\|$ 的三角不等式[(5.1.1)中的公理(3)]没有用到。因此，(5.1.1)中的公理(1)，(1a)和(2)连同(5.1.8)蕴涵以下事实：函数 $\|\cdot\|$ 是由内

积诱导的，因而它是-个范数，并且一定满足三角不等式．(f)若 $\pmb{V}$ 是一个复向量空间，定义

$\langle x, y \rangle$ 的实部是 $V$ 看作 $\mathbb{R}$ 上一个向量空间时的内积。利用这一事实和(5.1.8)证明 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $V$ 看作 $\mathbf{C}$ 上一个向量空间时的内积。

进一步阅读 平行四边形恒等式是一个给定的范数可由内积诱导的必要充分条件，这个结果的最早证明似乎应该属于P. Jordan和J. Von Neumann，他们的文章是"On Inner Products in Linear Metric Spaces,"Ann. Math. 36(2)(1935)，719-723.习题10中所给出的这个结果的证明参考了下述文章：D.Fearnley-Sander and J.S.V.Symons，“Apollonius and Inner Products,"Amer.Math.Monthly81(1974)，990-993.