2.3 Schur 酉三角化定理

初等矩阵理论最有用的基本事实或许是任一矩阵 $A \in M_{n}$ 西等价于一个上三角矩阵 $T$ [也西等价于一下三角矩阵]. $T$ 的诸对角元自然是 $A$ 的特征值. 尽管这种形式不唯一, 但是它是在西等价下所能得到的最简形式.

2.3.1 定理（Schur）已知 $A \in M_{n}$ 有特征值 $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ ，它们按任意规定的次序排列，那么存在一个酉矩阵 $U \in M_{n}$ ，使得

是具有对角元 $t_{n} = \lambda_{i}$ ， $i = 1$ ，…， $n$ 的上三角矩阵，即每个方阵 $A$ 两等价于其对角元依次是 $A$ 的特征值的三角矩阵．此外，如果 $A\in M_n(\mathbf{R})$ ，且 $A$ 的所有特征值都是实数，那么，可选择 $U$ 为实正交矩阵.

证明：证明本身就是实施一系列相同形式的化简算法并得到化简结果。设 $x^{(1)}$ 是 $A$ 的相应于征特值 $\lambda_{1}$ 的正规化特征向量，非零向量 $x^{(1)}$ 可以扩充为 $\mathbf{C}^n$ 的一个基

应用Gram-Schmidt标准正交化过程(0.6.4)于这个基，便得到 $\mathbf{C}^n$ 的一个标准正交基

从左至右把这些标准正交向量排成两矩阵 $U_{1}$ 的诸列，因为 $AU_{1}$ 的第1列是 $\lambda_{1}x^{(f)}$ ，计算表明： $U_{1}^{*}(AU_{1})$ 有形式

矩阵 $\lambda_{1} \in M_{n-1}$ 有特征值 $\lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ . 设 $x^{(n)} \in \mathbb{C}^{n-1}$ 是 $A_{1}$ 的相应于 $\lambda_{2}$ 的正规化特征向量，然后完全重复上述步骤，确定一个酉矩阵 $U_{2} \in M_{n-1}$ ，使得

并设

于是，矩阵 $V_{2}$ 和 $U_{1}V_{2}$ 是酉矩阵，因而 $V_{2}^{*}U_{1}^{*}AU_{1}V_{2}$ 有形式

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继续作这种化简便到酉矩阵 $U_{i} \in M_{n-1+1}$ ， $i=1, \cdots, n-1$ 和酉矩阵 $V_{i} \in M_{n}$ ， $i=2, \cdots, n-1$ 。矩阵

是酉矩阵，而 $U^{\prime}AU$ 给出了所要求的形式

如果 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 的所有特征值恰好是实数，那么，相应的特征向量可以选实向量，且上述所有步骤可以用实的算术运算来完成，这就是证明了后一个论断。

附注 仿照(2.3.1)的证明便可看出，在定理的叙述中，可用“下三角”代替“上三角”，

当然它对应于一个不同的酉等价 $U$

[80] 2.3.2 例 不论是酉矩阵 $U$ ，还是定理(2.3.1)中的三角矩阵 $T$ ，都不是唯一的。不仅 $T$ 的对角元（ $A$ 的特征值）可以依任何顺序出现，而且酉等价的上三角矩阵在其对角线上方可以呈现完全不同的形式。例如，

是经

的酉等价。一般说来，许多不同的上一角矩阵可以在同一个酉等价类之中。

附注 应指出的是，证明(2.3.1)的技巧不过是如1.4节中习题8所概述的顺序压缩技巧。

练习 如果 $A = \{a_{ij}\}$ 和 $B = \{b_{ij}\} \in M_2$ 相似，且 $\sum_{i,j}|a_{ij}|^2 = \sum_{i,j}|b_{ij}|^2$ ，证明 $A$ 和 $B$ 酉等价．用例子说明这在高维情形不成立．提示：注意到，如果 $A$ 和 $B$ 酉等价，那么 $A - A^{*}$ 和 $B + B^{*}$ 也酉等价．考虑

(2.3.1)的有用推论是，矩阵交换族可以同时上三角化

2.3.3 定理 设 $\mathcal{F} \subseteq M_n$ 是交换族，那么存在一个酉矩阵 $U \in M$ ，使得对每个 $A \in \mathcal{F}$ ， $U^* A U$ 是上三角的。

证明：同到(2.3.1)的证明，在原证明的每一步运用(1.3.17)，在每一步都可选定一个特征向量（和酉矩阵），且对每个 $\Lambda \in \mathcal{F}$ 都可以选定这同一个特征向量（和酉矩阵）。又西等价保持交换性，且分块矩阵乘法计算表明，如果形如

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两个矩阵可交换，那么 $A_{22}$ 和 $B_{22}$ 也可交换。因此，在证明(2.3.1)的化简过程中的每一步，每个 $A_{i}$ 都继承了交换族性质。我们得出，对交换族的所有成员，可用相同的方式选择(2.3.1)的 $U$ 中的所有组成部分，这就证明了(2.3.3)。值得指出的是，这里并没有断言，对各个族的成员的特征值，可以选取任一特定的次序。它取定的只是应用(1.3.17)时所得到的那个次序。□

下面的定理包括了(2.3.1)的严格的实形式，

2.3.4 定理 如果 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ ，那么有实正交矩阵 $Q \in M_{n}(\mathbf{R})$ ，使得

其中每个 $A_{i}$ 或是 $1 \times 1$ 实矩阵或是具有一对非实的复共轭特征值的 $2 \times 2$ 实矩阵。对角子块 $A_{i}$ 可以按任意的次序排列。

一般说来，不能指望通过一个实相似(更不用说实正交相似了)把一个实矩阵化成上三角形式，因为可能的话，对角元将是特征值，而特征值可以不是实数。形式(2.3.5)是通过实正交相似所能得到的与三角形式最接近的形式。如果 $A$ 有任何非实特征值，形式(2.3.5)就不会是上三角矩阵，但它总是呈上Hessenberg形状。

练习 试修改(2.3.1)的论证以证明(2.3.4)，提示：如果 $\lambda$ 是实矩阵 $A$ 的实特征值，那么有一个相应的实特征向量，可以用它来压缩 $A$ ，使呈(2.3.1)中的形状。如果 $\lambda = \alpha + i\beta$ 是 $A$ 的非实特征值，且 $Ax - \lambda x, x = u + iv \neq 0, u, v \in \mathbb{R}^n$ ，证明 $Au - \alpha u - \beta v, Av = \alpha v + \beta u$ 和 $Ax = \lambda x$ ，再证明 $\{x, \overline{x}\}$ 是无关组。证明 $\{u, v\}$ 是无关组，然后对它应用Gram-Schmidt过程得到实的标准正交组 $\{\omega, z\}$ 。设 $Q_1$ 是前两列为 $w$ 和 $z$ 的实正交矩阵，证明

这时，一次可使 $A$ 压缩两列。应该指出，在(2.3.5)中，相应于每个实特征值和每对复共轭特征值的子块 $A_{i}$ 可以按任意规定的顺序排列。

(2.3.3)也有一个在实的情形下的变形，

2.3.6 定理 设 $\mathcal{F} \subseteq M_n(\mathbf{R})$ 是交换族, 则存在实正交矩阵 $Q \in M_n(\mathbf{R})$ , 使得对每个 $\Lambda \in \mathcal{F}$ , $Q^T A Q$ 为(2.3.5)的形式.

练习 试修改(2.3.3)的论证以证明(2.3.6). 提示: 首先, 用所有实的公共特征向量压缩 $\pmb{\nu}$ 的所有成员. 然后考察非实公共特征向量, 且如(2.3.4)的证明所做的那样一次压缩两列. 要注意的是, 经一个公共的实正交相似之后, $\mathcal{F}$ 的不同成员可以有不同的 $2 \times 2$ 对角子块, 但是, 如果一个成员在某个位置有一个 $2 \times 2$ 子块, 而另一个成员却没有, 那么后者必须在相应位置有一对相同的 $1 \times 1$ 子块.

习题

1. 设 $x \in \mathbf{C}^{n}$ 是给定的单位向量 $(x^{*}x = 1)$ ，且记 $x - [x_{1}, y^{1}]^{2}$ ，其中 $x_{1} \in \mathbf{C}$ ，而 $y \in \mathbf{C}^{n-1}$ .

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选取 $\theta \in \mathbb{R}$ 使 $e^{i\theta}x_{1} \geqslant 0$ ，然后定义 $z = e^{i\theta}x = [z_1, \zeta^T]$ ，其中 $z_{1} \in \mathbb{R}$ 是非负实数，而 $\zeta \in \mathbf{C}^{n-1}$ 。证明矩阵

是酉矩阵。提示：计算 $V^{*}V = V^{2}$ 。得出矩阵 $U = e^{-i\theta}V = [xu_{2}\dots u_{n}]$ 是其第一列为已知向量 $\pmb{x}$ 的酉矩阵。这为Schur定理(2.3.1)的证明中的逐个压缩步骤，提供了一个求所需酉矩阵的构造性方法。

1. 如果 $x \in \mathbb{R}^n$ 是给定的单位向量，说明如何改进习题1中所描述的构造法，以便得到第一列是 $x$ 的实正交矩阵 $Q \in M_{n}(\mathbb{R})$ 。证明你的构造方法是可行的。

2. 设 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ . 解释 $A$ 的非实特征值（如果有的话）必须成共轭对出现

3. 考虑族

试说明定理(2.3.3)中的交换性假设虽然是 $\mathcal{F}$ 可同时酉上三角化的充分条件，但它不是必要条件。

1. 设 $\mathcal{F} = \{A_1, \dots, A_k\} \subset M_n$ 是给定的族，且设

是 $\mathcal{F}$ 中矩阵的所有两两乘积组成的族。事实上，如果 $\mathcal{G}$ 是交换族，那么， $\mathcal{F}$ 可以同时酉上三角化的充分必要条件是每个换位子 $A_{i}A_{j} - A_{j}A_{i}$ 的每个特征值都是零。证明关于 $\mathcal{G}$ 的交换性假设是比 $\mathcal{F}$ 的交换性假设要弱的假设。同时证明，习题4中的族 $\mathcal{F}$ 有一个相应的交换族 $\mathcal{G}$ ，它还满足零特征值条件。

1. 设 $A, B \in M_{n}$ 已知，且假设 $A$ 和 $B$ 同时相似于上三角矩阵；即对某个非奇异矩阵 $S \in M_{n}, S^{-1}AS$ 和 $S^{-1}BS$ 都是上三角矩阵。证明 $AB - BA$ 的每个特征值必定是零。提示：如果 $\Delta_{1}, \Delta_{2} \in M_{n}$ 都是上三角矩阵 $\Delta_{1}\Delta_{2} - \Delta_{2}\Delta_{1}$ 的主对角线是什么？

2. 虽然每个方阵可经酉相似化成上三角形式，但这对复正交相似不成立。如果某个 $A \in M_n$ 可以写成 $A = Q\Delta Q^T$ ，其中， $Q \in M_n$ 是复正交矩阵，而 $\Delta \in M_n$ 是上三角矩阵，证明 $A$ 至少有一个特征向量 $x \in \mathbb{C}^n$ 使 $x^T x \neq 0$ 。考察 $A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{bmatrix}$ ，试说明不是每个 $A \in M_n$ 可以经一个复正交相似上三角化。

3. 设 $Q \in M_{n}$ 是给定的复正交矩阵，且假定 $x \in \mathbb{C}^{n}$ 是 $Q$ 的相应于特征值 $\lambda \neq \pm 1$ 的特征向量。证明 $x^T x = 0$ 。提示：在恒等式 $Qx = \lambda x$ 的两边各乘以自己的转置。关于两个特征值都不同于 $\pm 1$ 的 $2 \times 2$ 复正交矩阵族的例子，可参看(2.1)节的习题8(a)。证明，这些矩阵中没有任何矩阵可经正交相似化为上三角矩阵。

进一步阅读 关于习题5所确立的定理(2.3.3)的较强形式，其证明可参看Y.P.Hong and R.A.Horn, “On Simultaneous Reduction of Families of Matrices to Triangular or Diagonal Form by Unitary Congruences,” Linear and Multilinear Algebra 17(1985), 271-288.