2.2 酉等价

因为酉矩阵 $U$ 有 $U^{\star} = U^{-1}$ ，所以，如果 $U$ 是酉矩阵，那么由 $A \to U^{*}AU$ 给出的 $M$ 上的变换是相似变换。这种特殊的相似形式称为酉相似或酉等价。

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2.2.1 定义 设矩阵 $A, B \in M_n$ ，如果存在两矩阵 $U \in M_n$ ，使得 $B = U^* A U$ ，就称 $B$ 酉等价于 $A$ ，如果 $U$ 可以取实矩阵（因而是实正交矩阵），那么就称 $B$ （实）正交等价于 $A$ 。

练习 证明西等价是一个等价关系.

2.2.2 定理 如果 $A = [a_{ij}]$ 和 $B = \lfloor b_{ij}\rfloor \in M_n$ 两等价，那么

证明：作矩阵乘法后便可看出 $\sum_{i,j}|a_{ij}|^2 = \operatorname{tr}A^*A$ 。因此只要验证 $\operatorname{tr}B^*B = \operatorname{tr}A^*A$ 就够了。如果 $B = U^{*}AU$ ，则因为迹是相似不变量，就有 $\operatorname{tr}B^*B = \operatorname{tr}U^*A^*UU^*AU = \operatorname{tr}U^*A^*AU = \operatorname{tr}A^*A.$ □

练习 定理(2.2.2)说明 $\operatorname{tr} A^{*} A$ 是酉相似不变量。不用 $A^{*} A$ 还可以作出另一个证明，不过要利用上一节的结果：用一个酉矩阵乘一个向量不会改变其 Euclid 长度，要注意的是，从左做起的矩阵乘法是乘被乘矩阵的各列，而从右做起的矩阵乘法是乘被乘矩阵的各行。

练习 证明

相似，但不西等价.

因为西等价蕴涵相似，但是反之不成立，所以，与相似等价关系相比，西等价关系把 $M_{n}$ 划分成更细的等价类。跟相似一样，西等价对应一个基变换，不过它是一种特殊形式的基变换——它把一个标准正交基变成另一个标准正交基。基的标准正交变换不改变向量的各分量的绝对值的平方和，而这个量在基的一个非标准正交变换下是可以改变的。因为求共轭转置要比

计算逆容易得多，所以在计算上，西等价关系要比相似关系更简单。在出现舍入误差的情况下，它也能较好地保证精确性。因此，在数值计算中，它是可取的。关于这方面的细致理由就不在这里阐述了，但是，可以作一个直观的解释，那就是用一个酉矩阵做乘法有保持长度的性质。

下述两种特殊的（又很简单的）酉矩阵形式给出两种西等价变换，它们在特征值的计算中非常重要.

2.2.3 例：平面旋转 设

它相当于一个单位矩阵，只是它的 $i$ ， $i$ 元和 $j$ ， $j$ 元代之以 $\cos \theta$ ，而 $i$ ， $j$ 元（相应地 $j$ ， $i$ 元）用 $\sin \theta$ （相应地 $\sin \theta$ )来代替.

练习 对于任一对指标 $1 \leqslant i < j \leqslant n$ 和任一角参数 $0 \leqslant \theta < 2n$ ，验证 $U(\theta; i, j)$ 是 $M_{n}(\mathbf{R})$ 中的正交矩阵。矩阵 $U(\theta; i, j)$ 只是在 $i, j$ 坐标平面中作一个（ $\theta$ 角的）旋转。值得指出的是，左乘以 $U(\theta; i, j)$ 仅对被乘矩阵的 $i$ 行和 $j$ 行有影响，而右乘以 $U(\theta; i, j)$ 仅对 $i$ 列和 $j$ 列有影响，因此，经 $U(\theta; i, j)$ 的两等价只使 $i, j$ 行和 $i, j$ 列有变化。经平面旋转的酉等价是计算特征值的 Jacobi 法和 Givens 法的基本特征。

2.2.4 例 Householder 变换。设 $w \in \mathbb{C}^n$ 是非零向量，定义 $U_n \in M_n$ 为 $U_n = I - t w u^*$ ，其中 $t = 2(w^* w)$ 。注意， $w w^* \in M_m$ ，而 $w^* w$ 是一个正纯量。如果 $w$ 已正规化 $(w^* w = 1)$ ，那么， $t$ 就是 2，而 $U_n$ 就是 $I - 2 w w^*$ ，我们常常是在假定 $w$ 已经正规化的前提下给出矩阵 $U_n$ 。

练习 证明， $U_{w}$ 在补子空间 $w$ 上相当于一个单位变换，而在由 $w$ 生成的一维子空间上相当于一个反射；即，如果 $x \perp w$ ，则 $U_{w}x = x$ ，而 $U_{w}W = -W$ .

练习 证明， $U_{w}$ 既是两矩阵，也是 Hermite 矩阵 $(U_{w} = U_{u})$ 。形如 $U_{u}$ 的矩阵称为 Householder 变换。经 $U_{w}$ 的酉等价有时也叫做 Householder 变换。这些变换在本书中要多次出现，其中包括计算特征值的 Householder 法（见习题 4）以及其他酉简化方法。值得指出的是，Householder 变换一般变更它们所作用的矩阵或向量的所有元素，但是，它们为许多应用提供

非常有效而精确的简化.

定理(2.2.2)给出了两个已知矩阵酉等价的一个必要而不充分的条件。我们能在此基础上再添加更多的恒等式，这些恒等式共同给出两个已知矩阵酉等价的必要充分条件。其中，下述简单概念起着关键的作用。设 $s, t$ 是两个给定的非交换变元，称 $s, t$ 的非负整数幂的任一有限形式乘积

为关于 $s$ 和 $t$ 的字。字 $W(s, t)$ 的次数是非负整数 $m_{1} + n_{1} + m_{2} + n_{2} + \cdots + m_{k} + n_{k}$ ，即字中的所有指数之和。如果已知 $A \in M_{n}$ ，我们可以形式地定义 $A$ 和 $A^{*}$ 的字为

由于 $A$ 与 $A^{\prime}$ 的幂未必交换，试图重排乘积中的项来简化 $W(A, A^{\prime})$ 不一定可行。

如果 $A$ 两等价于某个 $B \in M_{n}$ ，那么，对某个两矩阵 $U \in M_{n}$ ， $A - UBU'$ ，且不难算出

因而， $\operatorname{tr} W(A, A^*) \rightarrow \operatorname{tr} UW(B, B^*)U^* = \operatorname{tr} W(B, B^*)$ 如果取字 $W(s, t) = ts$ ，就得到定理（2.2.2）中的恒等式。

对所有可能的字 $W(s, t)$ ，上述结果给出了两个矩阵是酉等价的无限多个必要条件。下面，我们不加证明地叙述 $W \cdot \operatorname{Spec} \mathbf{ch}$ 的一个定理，这个定理确认这无限多个必要条件同时也是充分条件。

2.2.6 定理 两个已知矩阵 $A, B \in M_{n}$ 西等价，当且仅当

对于两个非交换元的每个字 $W(s, t)$ 都成立.

Specht定理只能用来证明两个已知矩阵不酉等价。然而，除非在一些特殊情形（见习题6），它在证明两个已知矩阵是酉等价时可能失效，因为必须验证无限多个条件。幸运的是，有一个定理对Specht定理作了改进，它属于C. Pearcy。这个定理说明，只要对有限多个字验证迹恒等式(2.2.7)就够了。

2.2.8 定理 两个已知矩阵 $A, B \in M_{n}$ 两等价，当且仅当 $\operatorname{tr} W(A, A^{*}) = \operatorname{tr} W(B, B^{*})$ 对次数至多是 $2n^{2}$ 的每个字 $W(s, t)$ 都成立。

Pearcy定理中的有限限制是对Specht定理的一大改进，但是，如我们所知，这还是非常保守的。当 $n = 2$ 时，只要对二个字 $W(s,t) = s$ ， $s^2$ 和 $ts$ 验证迹恒等式就够了。无需考虑次数至多是 $2(2)^2 = 8$ 的所有字。当 $n = 3$ 时，只要对9个字 $W(s,t) = s$ ， $s^2$ ， $ts$ ， $s^4$ ， $ts^2$ ， $t^2 s^2$ ， $tsts$ ， $ts^2 ts$ 和 $ts^2 t^2 s$ 验证迹恒等式而用不着考察次数至多是 $2(3)^2 = 18$ 的所有字。

习题

1. 设 $A = \left|a_{ij}\right| \in M_n(\mathbf{R})$ 是对称矩阵 $(A^i = A)$ ，但非对角矩阵，并假定选下标 $i \neq j$ 使得 $\left|a_{ij}\right|$ 越大越好。用 $(a_{ii} - a_{jj})^2 a_{ij} - \cot(2\theta)$ 定义 $\theta$ ，且设 $U(\theta; i, j)$ 是如(2.2.3)中所得到的平面旋转。用(2.2.2)证明，如果 $B - U(\theta; i, j)^* AU(\theta; i, j) = (b_{ij})$ ，那么 $\sum_{i \leq j} |b_{ij}|^2 < \sum_{i \leq j} |a_{ij}|^2$ 。说明累次应用这样的平面旋转（用上述相同的方式对 $B$ 和它后面的矩阵作相应的选择）会缩小各非对角元的平方和而保持所有元的平方和不变；每做一步，所得到的矩阵就比前一步更接近于对角矩阵。这就是计算一个实对称矩阵的特征值的 Jacobi 法。这个方法产生一个实对角矩阵的矩阵序列。为什么极限矩阵的诸对角元必定是 $A$ 的诸特征值？

2. 关于实对称矩阵（或一般的实矩阵）特征值的Givens法也是利用平面旋转，但采用的方式有所不同。证明，一个对称矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R})$ 经若干平面旋转后正交等价于一个三对角（对称）矩阵，而一般的 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 经若干平面旋转正交等价于一个（下）Hessenberg矩阵。关于三对角矩阵和Hessenberg矩阵可见(0.9.9)和(0.9.10)。提示：选一个平面旋转 $U_{1,3}$ 使得 $U_{1,3}AU_{1,3}$ 的1，3元为0。选另一个平面旋转使1，4元为0，继续做下去直到1， $n$ 元。然后转到2，4元，接着做下去。注意，这样一步步做下去不会影响前面已经选定的0元；并且正交等价保持对称性不变。一个三对角矩阵的特征多项式是容易确定的，而其特征值可用求根的方法来确定。注意到经过有限多次平面旋转后Givens法得到一个三对角矩阵，但它不会显现特征值或特征向量，不过利用另外的计算一定能得到它们。Jacobi法一般不会经有限多次平面旋转后中止，但它的目标是产生一个对角矩阵，而且得到一个标准正交特征向量组。

3. 证明，每个矩阵 $A \in M_n$ 酉等价于一个有相同主对角元的矩阵。提示：（a）若 $A \in M_2$ ，考察 $A - (1/2)(\operatorname{tr} A)I$ ，证明只需考虑 $\operatorname{tr} A = 0$ 的情形就行了。若 $x \in \mathbb{C}^2$ 是一个使 $x^* A x = 0$ 的单位向量，设 $U - [x, y] \in M_2$ 是一个酉矩阵，说明 $U^* A U$ 的 1，1 元为零，并且利用迹条件证明其 2，2 元也为零。为了求这个向量 $x$ ，设 $w, z$ 是属于 $A$ 的两个特征值 $\pm \lambda$ 的特征向量。如果 $\lambda = 0$ ，取 $x = w$ 。如果 $\lambda \neq 0$ ，设 $x(\theta) = e^{i\theta} w + z$ ；证明，对所有 $\theta \in \mathbb{R}$ 有 $x(\theta) \neq 0$ ，面对某个 $\theta \in \mathbb{R}$ 有 $x(\theta)^* A x(\theta) = 0$ ；对这个 $\theta$ ，设 $x - x(\theta) / [x(\theta)' x(\theta)]^{\frac{1}{2}}$ 。如果 $A \in M_2(\mathbb{R})$ ，容易构造一个（实）平面旋转 $U = U(\theta; 1, 2)$ 使 $U^T A U$ 的对角元相等，但这在复的情形是行不通的。定义 $f(A) = \max \{|a_n - a_{jn}| : i, j = 1, 2, \dots, n\}$ ，并且设 $A_2 = \begin{bmatrix} a_n & a_n \\ a_n & a_n \end{bmatrix}$ ，其中指标偶 $i, j$ 适合 $f(A) = |a_n - a_{jn}|$ 。设 $U_2 \in M_2$ 是使 $U_2^* A_2 U_2$ 有相同主对角元的酉矩阵。如同(2.2.3)中从 $2 \times 2$ 平面旋转构造 $U(\theta; i, j)$ ，用同样的方式从 $U_2$ 构造 $U(i, j) \in M_n$ ，并且证明，如果极大对角元之差不是多个可取差，则 $f(U(i, j)^* A U(i, j)) < f(A)$ ；否则可以重复上述构造。可以断定，如果 $f(A) \neq 0$ ，则有两矩阵 $U \in M_n$ 使 $f(U^* A U) < f(A)$ 。设 $R(A) = \{U^* A U; U \in M_n$ 是酉矩阵}，证明 $R(A)$ 是紧集并注意 $f$ 是 $R(A)$ 上的连续函数。设 $C \in R(A)$ 适合 $f(C) = \min \{f(B); B \in R(A)\}$ ，证明 $f(C)$ 不成立，因而从 $f(C) = 0$ 得出结论成立。

4. 证明，用Householder变换可以把一个具有Euclid长度 $r = (x^{\prime}x)^{1/2}$ 的任一向量 $x \in \mathbb{R}$ 变成长度为 $r$ 的任一其他向量 $y \in \mathbb{R}^{n}$ ， $y \neq x$ 。提示：试用 $U_{w}$ 证明，其中 $w = x - y$ 。如果 $x, y \in \mathbb{C}^{n}$ 你能得出什么结论？

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1. 计算 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 的特征值的 Householder 法如同 Givens 法，先把 $A$ 化简成（上）Hessenberg 矩阵（或在对称的情形化为三对角矩阵）。构造性地证明，其第 $j$ 列中的第 $(j + 1)$ 个元素以后均为 $0 (j = 1, \cdots, k)$ 的形如

的矩阵，经一个用Householder变换所确定的实正交相似可以变成一个同形的矩阵。由此得出，任一个矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 都可以经一系列 $(n - 2$ 个)Householder相似化简成上Hessenberg矩阵，而一个对称矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 可用同样的方式化简成三对角矩阵。提示：对于第 $(k + 1)$ 列，选一Householder变换 $U \in M_{n}$ 把出现在对角线下方的诸元素组成的 $(n - k)$ 维向量变成 $[1,0,\dots ,0]^T \in \mathbb{R}^n$ 的一个适当倍数。于是经由正交矩阵

确定的相似可变换整个矩阵，并且看到所想要的0子块出现了。

1. 设 $A \in M_{n}$ 和 $B, C \in M_{n}$ 是给定的。用 Specht 定理(2.26)或 Pearcy 定理(2.2.8)证明 $B$ 与 $C$ 酉等价，当且仅当下列诸条件下的任一个成立：

(a) $\left[ \begin{array}{ll}A & 0\\ 0 & B \end{array} \right]$ 和 $\left[ \begin{array}{ll}A & 0\\ 0 & C \end{array} \right]$ 酉等价.

(b) $\left[ \begin{array}{cccc}B & & & 0\\ & B & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & B \end{array} \right]$ 和 $\left[ \begin{array}{cccc}C & & & 0\\ & C & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & C \end{array} \right]$ 酉等价，其中两个直和有相同的项数.

(A) $\left[ \begin{array}{cccc}A & & & 0\\ & B & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & B \end{array} \right]$ 和 $\left[ \begin{array}{cccc}A & & & 0\\ & C & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & C \end{array} \right]$ 酉等价，其中两个直和有相同的项数.

1. 证明：诸某个次数 $k$ 有 $2^{k-1}$ 个不同的形如(2.2.5)的字 $\mathbf{W}(s, t)$ ，因而得出至多有 $4n^{2}$ 个次数至多为 $2n^{2}$ 的不同的字。

2. 试给出两个 $2 \times 2$ 矩阵，这两个矩阵满足恒等式(2.2.2)，但它们不酉等价。解释其原因。

进一步阅读与注释 关于定理(2.2.6)的原始证明可参看W. Specht, “Zur Theorie der Matrizen II,” Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 50(1940), 19-23. 定理 (2.2.8) 的证明可见 C. Pearcy, “A Complete Set of Unitary Invariants for Operators Generating Finite $W^{*}$ -Algebras of Type I,” Pacific J. Math. 12(1962), 1405-1416. 关于低阶矩阵两等价的讨论可见 C. Pearcy, “A Complete Set of Unitary Invariants for $3 \times 3$ Complex Matrices,” Trans. Amer. Math. Soc. 104(1962), 425-429.