4.9 课后习题

练习4.1 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ . 证明:

(1) 若 $A$ 是上三角矩阵, 且 $A^{*}A = AA^{*}$ , 则 $A$ 必定是对角矩阵;
(2) $A$ 是正规矩阵的充要条件是 $A$ 酉相似于一个对角矩阵;
(3) 设 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, 则 $A$ 是正规矩阵的充要条件是 $\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 = \|A\|_F^2$ .

练习4.2设 $\lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{C}$ 是 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的两个互不相同的特征值, $x\in \mathbb{C}^n$ 是 $\lambda_{1}$ 的特征向量, $y\in \mathbb{C}^n$ 是 $\lambda_{2}$ 的左特征向量.证明: $y^{*}x = 0$

练习4.3设 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 可对角化,其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_n$ ，证明：

练习4.4设 $A = QR = UG$ 是非奇异矩阵 $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 的两个QR分解,其中 $Q,U\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 是酉矩阵， $R,G\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 是上三角矩阵.证明：存在对角矩阵 $W = \mathrm{diag}(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots ,\alpha_{n})\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 满足 $|\alpha_i| = 1$ ，使得

练习4.5设 $H = [h_{ij}]\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是上Hessenberg矩阵,其QR分解为 $H = QR,$ 其中 $R = [r_{ij}]\in$ $\mathbb{R}^{n\times n}$ 是上三角矩阵且对角线元素均非负.证明：

因此, (1) 若 $H$ 不可约, 则 $r_{kk} > 0, k = 1,2,\ldots ,n - 1$ ; (2) 若 $H$ 不可约且奇异, 则 $r_{nn} = 0$ . (提示: 观察 $H$ 的 QR 分解过程, 借助 Givens 变换)

练习4.6 (定理4.6) 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是非奇异上Hessenberg矩阵且下次对角线元素均非零, 即 $a_{i+1,i} \neq 0, i = 1,2,\ldots,n-1$ . 设其QR分解为 $A = QR$ , 则 $\tilde{A} \triangleq RQ$ 的下次对角线元素也都非零.

练习4.7用Householder变换,通过相似变换将矩阵 $A$ 化为上Hessenberg型,其中

练习4.8 考虑基于Householder变换的上Hessenberg化算法,统计乘法运算次数和加减运算次数

练习 $4.9^{*}$ 设 $A\in \mathbb{C}^{m\times m},B\in \mathbb{C}^{n\times n},C\in \mathbb{C}^{m\times n}$ ，考虑矩阵方程

(1) 证明: 当 $A$ 和 $B$ 没有共同特征值时, 矩阵方程存在唯一解.

(提示: 利用 Kronecker 积, 上述矩阵方程等价于 $(I_n \otimes A - B^\top \otimes I_m) \mathrm{vec}(X) = \mathrm{vec}(C)$ , 其中 $\mathrm{vec}(\cdot)$ 表示将矩阵按列排列得到的向量)

(2) 当 $A$ 和 $B$ 没有共同特征值时, 给出求解算法

(提示: 利用 Schur 分解, 将 $A$ 和 $B$ 转化为相应的上三角矩阵)

练习4.10 设 $R = \left[ \begin{array}{cc} R_{11} & R_{12} \\ 0 & R_{22} \end{array} \right], R_{11} \in \mathbb{R}^{p \times p}, R_{22} \in \mathbb{R}^{q \times q}$ , 其中 $p, q = 1$ 或 2, 且 $R_{11}$ 和 $R_{22}$ 没有相同的特征值. 证明: 存在正交矩阵 $Q$ , 使得 $Q^{\mathrm{T}} R Q = \left[ \begin{array}{cc} \tilde{R}_{22} & \tilde{R}_{12} \\ 0 & \tilde{R}_{11} \end{array} \right]$ , 其中 $\tilde{R}_{11}$ 与 $R_{11}$ 有相同的特征值, $\tilde{R}_{22}$ 与 $R_{22}$ 有相同的特征值.

(注: 由该结论可知, 实 Schur 分解中 $R$ 的对角块可以按任意顺序排列)

练习4.11 统计双位移隐式QR迭代法执行一次迭代所需的乘法和加法运算次数.

以下为可选题

练习4.12 设 $J = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{array} \right] \in \mathbb{C}^{m\times m}$ , 计算其特征值 $\lambda$ 对应的左、右特征向量.

练习4.13设

其中 $A_{ii}$ 都是方阵. 证明: $A$ 的特征值即为对角块 $A_{11}, A_{22}, \ldots, A_{kk}$ 的特征值的并.

练习 $4.14^{*}$ 设 $H \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是不可约上Hessenberg矩阵, 证明: 存在对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}HD$ 的次对角元素都为1. 若 $H$ 的次对角元素都小于1或都大于1, 估计 $D$ 的谱条件数 $\kappa_{2}(D)$ .

练习4.15 证明矩阵

的特征多项式是

并利用这个结果给出计算一个多项式所有零点的实用算法.

以下为实践题

练习4.16 编写函数, 实现矩阵的上Hessenberg化, 即算法4.7.

练习4.17 编写函数, 实现带Francis位移的隐式QR迭代算法的单个迭代步, 即从 $A_{k}$ 到 $A_{k+1}$ , 这里假定 $A_{k}$ 是上Hessenberg矩阵, 且下次对角线上的元素都非零.