7._齐次方程组解的性质

齐次方程组解的性质

如果 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解， 则向量

称为方程组 $A x=0$ 的解向量，也称为 $A x=0$ 的解. 记方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量的全体所成的集合为 $S$ ， 即

我们来讨论方程组 $A x=0$ 的解向量的性质，以及向量组 $S$ 的秩和极大无关组.

性质1 设 $\alpha, \beta$ 为 $A x=0$ 的任意的两个解，则 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解． 证明 由 $\alpha, \beta$ 均为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha=0, ~ A \beta=0$ ，于是

所以 $\alpha+\beta$ 仍为 $A x=0$ 的解．

性质2 设 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的任意解，则对任意实数 $k, ~ k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解． 证明 由 $\alpha$ 为 $A x=0$ 的解，有 $A \alpha =0$ ．于是对于任意数 $k$ ，有

所以 $k \alpha$ 仍为 $A x=0$ 的解．

若 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$ ， 线性组合 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t \boldsymbol{\alpha}_t (*)$ 仍为 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. 因此，在 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的情况下，如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_1$ 是解集 $S$ 的极大无关组， 则表达式 $(*)$ 称为方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解. 齐次线性方程组的解集 $S$ 的极大无关组称为齐次线性方程组的基础解系.

定理

设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 一定有基础解系，并且基础解系中所含向量的个数为 $n-r$ ，从而解集 $S$ 的秩 $R_s=n-r$ ．

证明 由于矩阵 $A$ 的秩 $R( A )=r<n$ ，不妨设矩阵 $A$ 的前 $r$ 个列向量线性无关， 于是A的行最简形矩阵为

矩阵R对应的方程组为

上面方程组可以写成

令

分别取

带入上式可得

于是得到n-r个向量

下面我们证明向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-1}$ ，就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A x =0$ 的基础解系． 由于向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n--}$ 可看成是表达式（＊＊＊）中的 $n-r$ 个向量分别添加了 $r$ 个分量后所得到，而表达式（＊＊＊）中的 $n-r$ 个 向量线性无关，从而向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 也是线性无关的．

因此只需证明：齐次线性方程组的任一解向量都可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示．

假设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 的任一解向量：$\quad \eta =\left(\begin{array}{c}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{array}\right)$ ，

将矩阵 $R$ 的非零行的首元对应的末知量看成固定末知量，留在等号的左端，其余的末知量看 成自由末知量，放在等号右端，

则 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 一定会满足方程组 $\left({ }^{* *}\right)$ ， 即:

于是

即任一解向量 $\eta$ 均可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 线性表示 $\eta=k_{r+1} \xi_1+k_{r+2} \xi_2+\cdots+k_n \xi_{n-r}$. 所以向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是 $n$ 元齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=0$ 的基础解系.