21._阶梯形矩阵的求法

阶梯形矩阵在整个矩阵系统里占据极其重要的位置，很多题目都涉及利用矩阵的初等变换化为阶梯形矩阵，因此务必掌握。

为何引入阶梯形矩阵

回顾矩阵的初等变换,矩阵的初等变换共有三条规则： ①交换矩阵的某两行； ②矩阵的某一行乘以非零数; ③将矩阵的某一行的k倍加到另一行 利用这三条规则，可以化简矩阵为阶梯形矩阵。

为什么要化为阶梯形矩阵？因为通过阶梯形矩阵可以获取矩阵很多的性质，比如矩阵的秩，方程组的解等。请看一个方程组。

{x1+2x2+x3=33x1−x2−3x3=−12x1+3x2+x3=4\left\{\begin{aligned} x_1+2 x_2+x_3 & =3 \\ 3 x_1-x_2-3 x_3 & =-1 \\ 2 x_1+3 x_2+x_3 & =4 \end{aligned}\right.

上面这个方程最终可化为下面的方程组：

{x1+2x2+x3=3−7x2−6x3=−10−x3=−4\left\{\begin{aligned} x_1+2 x_2+ & x_3 =3 \\ -7 x_2- & 6 x_3 =-10 \\ & - x_3 =-4 \\ \end{aligned}\right.

利用回代法，从第三个方程开始，由下往上，即可顺利得到方程组的解。因此，在“效率”和“功能”方面，当一个方程化成类似上面的形式时，就能满足我们90%的任务了。如果继续化简，还可以换成行最简型。 因此，这里就引入阶梯形矩阵。

阶梯行矩阵

在上例中，线性方程组对应的增广矩阵有一个共同特点，就是: 可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，

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这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵. 即判断是否是阶梯形矩阵，主要在于2点：

(1) 若有零行，则零行都在矩阵的最下方； (2) 首非零元(非零行的第一个不为零的元素)的列标随着行标的递增而严格增大.

在实际判断里，都是通过想象画下进行判断，如下图两个都是阶梯形矩阵。

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注意 阶梯形矩阵，每次只能下降1个台阶，但是允许跨多列

如下图，第一个矩阵一下子下降2个阶梯，这种不是阶梯形矩阵。

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行最简形矩阵

下面这个矩阵就是行最简形矩阵。 图片{width=400px}

最简形矩阵最大的好处是，如果直接把x1,x2...xnx_1,x_2...x_n 带入，即可直接得到方程组的解。

定义：对于一个矩阵，如果他是阶梯形矩阵，且它的非零行的第一个非零元素全为 1 ，并且这些非零元素所在的列的其余元素全为零， 这样的矩阵，我们称为行最简形矩阵.

下图显示的是两个行最简形矩阵。 图片

再如下图，第3行都是零，再最下面，首行非零元都是1，而且又是阶梯形，因此他是行最简形矩阵 图片{width=200px}

再次强调一下行最简形矩阵的条件 (1)非零行的首非零元为1 (2)首非零元所在列的其它元素都是零。

矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但是行最简形矩阵是唯一的。

阶梯形矩阵的化法

例试用矩阵的初等行变换将矩阵 A=(2−31−122−1−11211−214−14−322)A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2\end{array}\right) 先化为阶梯形矩阵.

解：第一步：交换第一行和第三行的位置，想一想，为什么要交换第一行和第三行？因为第3行第一个元素是1，我们使用他来最为基础行，然后消去后面的行会计算比较方便。

A=(2−31−122−1−11211−214−14−322)⟶r1↔r3(11−2142−1−1122−31−12−14−322)\begin{aligned} & A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2 \end{array}\right) \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2 \end{array}\right) \end{aligned}

第二步 第一行保持不变，然后用第一行消去第二行、第一行消去第三行、第一行消去第四行。即

①第一行的-2倍加到第二行 ②第一行的-2倍加到第三行 ③第一行的1倍加到第四行

A⟶(−2r1)+r2(−2r1)+r3r1+r4(11−2140−33−1−60−55−3−605−536)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{(-2 r_1)+r_2 \\ (-2 r_1)+r_3 \\ r_1+r_4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\ 0 & 5 & -5 & 3 & 6 \end{array}\right) \end{aligned}

现在第一列已经处理完毕（第1列主对角线下方都是0），后续第一列不再主动参与后面的变换（被动可以），可以想象一下，只要第一行主动加到下面的行，就会把已经化简的0，又变成非0。但是从下往上加是可以的。

第三步 下面开始处理第2列。我们注意到第3行和第4互为相反数，所以，先把第3行加到第4行。

A⟶r3+r4(11−2140−33−1−60−55−3−600000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{r_3+r_4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

现在第2行乘以−53-\frac{5}{3} 然后加到第3行

A⟶r2∗(−53)+r3(11−2140−33−1−6000−43400000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{r_2 * (-\frac{5}{3})+r_3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{4}{3} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

此时，第3行出现了分数，已经不方便计算，因此，第三行乘以3，消去分数

A⟶r3∗5(11−2140−33−1−6000−41200000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{r_3 *5}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

把第3行公约数-4提取出来

A⟶r3÷(−4)(11−2140−33−1−60001−300000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{r_3 \div (-4)}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

现在第2列已经处理完毕（第2列主对角线下方都是0），开始处理第3列。观察到第3列下方已经是0，此时就如果画出折现，就可以发现他已经是阶梯形矩阵了。

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行最简形矩阵

我们继续上一题，在已经是阶梯形矩阵的情况下，把他化为行最简形矩阵。

例在上图里，第一列已经满足行最简形矩阵，但是第2列不满足，为此需要把第2行第2列的元素变为1 因此第二行乘以−13-\frac{1}{3}

A⟶r2∗(−13)(11−21401−11320001−300000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{r_2 * (-\frac{1}{3})}} {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & \frac{1}{3} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

行最简形要求第二列的第一行为零，但是现在为1， 因此用第2行的-1倍，加上第一行上去。 （注意：此时只能从下往上加。因为，从上往下，一旦第一行-1倍加到下面的第2行上去，那么前面已经化好的数据就又变成非0）

A⟶−r2+r1(10−123201−11320001−300000)A \begin{aligned} \stackrel{\substack{-r_2 +r_1}} {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & \frac{2}{3} & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \frac{1}{3} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

现在处理第4列， 把第3行乘以−23-\frac{2}{3} 加到第一行，把第3行乘以−13-\frac{1}{3} 加到第二行

A⟶(10−10401−1030001−300000)A \begin{aligned} {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}

上述就是行最简形矩阵。

例计算矩阵的秩

A=(2−3453−23454−3246−4−5)A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right)

解： 因为现 在a11=2a_{11}=2 ，若将 a21,a31a_{21}, a_{31} 化零时会出现分数。 我们要尽可能想办法让行列式中a11=1a_{11}=1，(当然-1也可以) ， 一种方法是第一行提取公因子法，即第一行提取一个公因子22，但是这样后面几个数字也会出现分数。 为此，先将 DD 中第二 行的 −1-1 倍加到第一行上，使新的 a11=−1a_{11}=-1 ．根据新的第 11 行的特点，将 a12,a13,a14a_{12}, a_{13}, a_{14} 化为零更方便，

① 将第2行的-1倍加到第一行上，结果如下。

A=(−1−1113−23454−3246−4−5)A=\left(\begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right)

去掉负号

A=(11−1−13−23454−3246−4−5)A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right)

然后 (i)第一行乘以-3 加到第二行 (i)第一行乘以-5 加到第三行 (i)第一行乘以-4 加到第四行

A=(11−1−10−5670−127020−1)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -5 & 6 & 7 \\ 0 & -1 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)

交换第2,3行位置

A=(11−1−10−1270−567020−1)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 7 \\ 0 & -5 & 6 & 7 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)

①第二行的1倍加到第一行 ②第二行的-5倍加到第三行 ②第二行的2倍加到第四行

A=(10160−12700−4−2800413)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -4 & -28 \\ 0 & 0 & 4 & 13 \end{array}\right)

现在把第三行提取 -4 （目的是让他变成1），得

A=(10160−127001700413)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & 13 \end{array}\right)

① 第三行乘以-1加到第一行 ②第三行乘以-2加到第二行 ③第三行乘以-4加到第四行

A=(100−10−10−70017000−15)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & -15 \end{array}\right)

矩阵初等变换有一个性质：将某行全体元素都乘以某一非零常数。 这里 -15 看起来很碍眼，所以第四行直接提取 -15倍（相当于把-15变成1）

第二行直接提取-1 第四行直接提出-15

A=(100−1010700170001)A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

用第四行消去上面3行，最终结果为

(1000010000100001)\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

矩阵的标准形

对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如下面有一个矩阵可以简化如下

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最后一个矩阵称为矩阵的标准形，写成分块矩阵的形式，则有

F=(E3ooo)\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_3 & \boldsymbol{o} \\ \boldsymbol{o} & \boldsymbol{o}\end{array}\right)

对于一般的矩阵，我们有下面的结论:

01任意一个 m×nm \times n 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵； 02 任意一个 m×nm \times n 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵； 03 任意一个 m×nm \times n 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F=(Ero00)m,nF=\left(\begin{array}{ll}E_r & o \\ 0 & 0\end{array}\right)_{m, n}, 04 其中 rr 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.

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