29._过渡矩阵 - Linear Algebra

物体的参照物

在高中，都学习过物体的参照物，我们常说“地球绕着太阳转”，其实默认了太阳是静止的，而地球是运动的，同样这个运动，如果我们以地球为参照物，也可以说是太阳绕着地球转，但是可以发现，两者方向正好相反。所以，旋转参照物不同，所得的结果并不一定相同，这个参照物，就是数学中说的基，而物体的速度类似物体的坐标。

关于过度矩阵更详细介绍请参考坐标变换

坐标轴平移

不改变坐标轴的方向和长度单位，只变换原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴．给定一坐标系 $OXY$ , 平移坐标轴得到新坐标系 $O'X'Y'$ , 下面我们来确定平面上任意一点 $P$ 的新坐标 $(x',y')$ 与原坐标 $(x,y)$ 之间的关系（图6.27）．

$图片$

设 $O'$ 在坐标系 $OXY$ 中的坐标为 $(h,k)$ , 则在坐标系 $OXY$ 中 $\vec{OO'}=(h,k),\qquad \vec{OP}=(x,y),\qquad \vec{O'P}=(x',y')$ 因为 $\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}$ ，所以 $(x,y)=(h,k)+(x',y')$

即：

$x=x'+h,\qquad y=y'+k$

或

$x'=x-h,\qquad y'=y-k$

公式(6.19), (6.20)叫做平移公式或移轴公式．

例平移坐标轴，化简圆的方程 $x^2+y^2+2x-6y+6=0$ 解：把已知圆的方程配方得 $(x+1)^2+(y-3)^2=4$ 设它上面任一点的新坐标为 $(x',y')$ , 平移坐标轴使 $x'=x+1,\qquad y'=y-3$ 即： $x=x'-1,\qquad y=y'+3$ ，代入(6.21)，得到新方程为(图6.28) ${x'}^2+{y'}^2=4$ $图片$

从例6.15可以看出，适当地变换坐标系，可以使曲线的方程简化．由于曲线的几何性质与我们选取的坐标系无关．所以，我们研究曲线时，总是想法选择能使曲线方程最为简单的坐标系，以便于我们研究曲线的性质．

坐标轴的旋转

不改变坐标轴的原点和长度单位，只是坐标轴绕原点转一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴．

给定一坐标系，坐标轴绕原点 $O$ 转 $\theta$ 角，得到一新坐标系 $OX'Y'$ (图6.29). 下面我们来确定平面上任一点 $P$ 的新坐标 $(x',y')$ 与原坐标 $(x,y)$ 之间的关系．

设 $\vec{e}_{x},\vec{e}_{y}$ 和 $\vec{e}_{x'},\vec{e}_{y'}$ 分别是两个坐标系中的基向量，则

\begin{aligned} \overrightarrow{O P} & =x \vec{e}_x+y \vec{e}_y=x^{\prime} \vec{e}_{x^{\prime}}+y^{\prime} \vec{e}_{y^{\prime}} \\ \vec{e}_{x^{\prime}} & =\cos \theta \vec{e}_x+\sin \theta \vec{e}_y \\ \vec{e}_{y^{\prime}} & =\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_y=-\sin \theta \vec{e}_x+\cos \theta \vec{e}_y \end{aligned}

$图片$ 代入上式，得 $x eX+y eY=(x'\cos\theta-y'\sin\theta) eX+(x'\sin\theta+y'\cos\theta) eY$ 所以：

\boxed{\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta \end{cases}} ...(6.22)

由(6.22)解出 $x',y'$ 得

\boxed{\begin{cases} x'=x\cos\theta+y\sin\theta\\ y'=-x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases}} ...(6.23)

(6.22)式是用新坐标来表示原坐标的公式，(6.23)式是用原坐标来表示新坐标的公式，它们统称为{旋转公式或转轴公式．

一般的坐标变换公式

设 $OXY$ , $O'X'Y'$ 是两个坐标系（图6.31）， $O'$ 在坐标系 $OXY$ 中的坐标是 $(h,k)$ , 容易看出，把坐标系 $OXY$ 作移轴变换，把原点 $O$ 移到 $O'(h,k)$ 得到坐标系 $O'XY$ 然后再绕 $O'$ 旋转 $\theta$ 角就可得到坐标系 $O'X'Y'$ , 这就说，上述的一般的坐标变换是平移与旋转的合成．下面我们来确定，平面上任意一点 $P$ 的新坐标 $(x',y')$ 与原坐标 $(x,y)$ 之间的关系． $图片$

设 $OXY$ 经过移轴后得到的坐标系为 $O'XY$ （图6.31），则由平移公式，得

\begin{cases} x=x''+h\\ y=y''+k \end{cases}

再由旋转公式，得

\begin{cases} x''=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y''=x'\sin\theta+y'\cos\theta \end{cases}

把(6.25)代入(6.24)，得

\boxed{\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta+h\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta+k \end{cases} }

由(6.26)式解出 $x',y'$ 又可得

\boxed{\begin{cases} x'=(x-h)\cos\theta+(y-k)\sin\theta\\ y'=-(x-h)\sin\theta+(y-k)\cos\theta \end{cases} }

(6.26), (6.27)两个公式就是一般的坐标变换公式．公式(6.26)是通过新坐标来表示原坐标，公式(6.27)是通过原坐标来表示新坐标．

坐标与坐标系的选择

准确描述：坐标系的变换与点的坐标变换互为逆变换．还有个原点对应平移变换．

1）点的坐标变换：点 $P$ 在 $A$ 系统坐标 $(x, y, z)^A$ ，而到 $B$ 系统后，它的新坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)^B$ ，即 $(x, y, z)^A \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)^B$ ；

2）坐标系变换（原点变换+坐标轴变换/基变换）： $O \rightarrow O^{\prime} ; e_1, e_2, e_3 \rightarrow e_1^{\prime}, e_2^{\prime}, e_3^{\prime}$ ．

其中， $A$ 坐标系统 $A\left[O ; e _1, e _2, e _3\right], ~ O(0,0,0)^A, e _1, e _2, e _{ 3 }$ 分别是 $x, y, z$ 轴单位向量；

$B$ 坐标系统 $B\left[O^{\prime} ; e _1^{\prime}, e _2^{\prime}, e _3^{\prime}\right], O^{\prime}(0,0,0)^B=O^{\prime}\left(x_0, y_0, z_0\right)^A, e _1^{\prime}, e _2^{\prime}, e _3^{\prime}$ 分别是 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ 轴单位向量；

注： $(x, y)^A$ 指A系统下坐标， $(x, y)^B$ 指B系统下坐标．

原点变换，本质是平移变换，即 $O \rightarrow O^{\prime}$ ；

基变换，本质是向量变换，也是旋转变换，让 $A$ 系统坐标轴旋转到与 $B$ 系统坐标轴平行．也就是说，直角坐标系变换是基变换（先旋转）与原点变换（后平移）的复合变换．

当一个向量在一个坐标系下表示的坐标为 $A$ ,在另外一个坐标系下表示的是 $B$ ，那么由 $A$ 到 $B$ 的转换，可以通过乘以一个矩阵实现，这个矩阵就是过渡矩阵。

设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，存在系数矩阵 $P_{n \times n}$ ，使得

\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, }

矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵. 显然，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵.

关于过渡矩阵的介绍，请参考过渡矩阵视频