18._逆矩阵求解方程组

逆矩阵解方程

逆矩阵最大的作用是解方程 。

一般线性方程为

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n \end{array}\right.

可写成矩阵形式

Ax=β,\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta},

其中 A=(aij)\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right). 若 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0, 则 A−1\boldsymbol{A}^{-1} 必存在, 因此

A−1(Ax)=A−1β\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta}

即

x=A−1β\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta}

例解矩阵方程 AX=BA X=B ，其中

-1 \\ 5 \\ 10 \end{array}\right]

解：（方法一）

若 AA 可逆，则有 X=A−1BX=A^{-1} B ． 下面先求 A−1A^{-1}（ AA 是否可逆，在进行初等行变换的过程中就可验证，因为如果 AA 可逆，则用上述方法总可以把 AA 化成单位矩阵；否则就不可逆）．

把AA矩阵和单位矩阵EE进行合并，然后只使用初等行变换把AA化为EE (具体原理参考 逆矩阵 介绍) ，则余下的就是A−1A^{-1} 即：

(A,E)=[3−10100−2110102−14001]→(2)+(1)[101110−2110102−14001](A, E)=\left[\begin{array}{rrr:rrr} 3 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{(2)+(1)}\left[\begin{array}{rrr:rrr} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

继续化简，坐标已经是单位矩阵了，右边就是A的逆矩阵

[100145−150102125−3500101515]\left[\begin{array}{rrr:rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right]

因此，A−1=[145−152125−3501515]A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] ． 于是，X=A−1B=[145−152125−3501515][−1510]=[143]X=A^{-1} B=\left[\begin{array}{lcr}1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 3\end{array}\right] ．

解法二 思维分析：在上例中，我们求解矩阵方程 AX=B\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} 的解题步骤是先用初等行变换化 (A∣E)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E})为 (E∣A−1)\left(\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}\right) ，求出 A−1\boldsymbol{A}^{-1} ，然后再将 A−1\boldsymbol{A}^{-1} 与 B\boldsymbol{B} 相乘，计算出解 X=A−1B\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} ．事实上，

由于

PkPk−1⋯P1A=E,PkPk−1⋯P1E=A−1,PkPk−1⋯P1B=A−1B.\begin{aligned} & \boldsymbol{P}_k \boldsymbol{P}_{k-1} \cdots \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}, \\ & \boldsymbol{P}_k \boldsymbol{P}_{k-1} \cdots \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{A}^{-1}, \\ & \boldsymbol{P}_k \boldsymbol{P}_{k-1} \cdots \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} . \end{aligned}

特别关注上面的后两个方程，要得到 A−1\boldsymbol{A}^{-1} 需要对同阶单位阵 E\boldsymbol{E} 进行化 A\boldsymbol{A} 为 E\boldsymbol{E} 的相同的初等行变换 PkPk−1⋯P1\boldsymbol{P}_k \boldsymbol{P}_{k-1} \cdots \boldsymbol{P}_1 ，将这些行变换同样作用到矩阵 B\boldsymbol{B} 上，就得到 A−1B\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} 。所以求解 nn 个 nn 元线性方程组成的方程组的解时，我们只需要将 A\boldsymbol{A} 与 B\boldsymbol{B} 并排写成增广矩阵的形式 (A∣B)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) ，然后对 (A∣B)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) 进行初等行变换，将其中的 A\boldsymbol{A} 化为单位矩阵，相应地 B\boldsymbol{B} 就化为了 A−1B\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} ，也就是求出了解 X=A−1B\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} 。

下面视频介绍了上面变换的意义（视频来B站《线性代数及解题技巧（全112讲）秦静》） <video width=600px height="500px"; controls>

由上面分析可以得到AX=BAX=B的初等变换法解法

对于AX=BAX=B,把矩阵A,BA,B合并为一个大矩阵 (A,B)(A, B)，然后使用初等行变换，把AA化为EE,则此时BB就是XX的值，即 (A,B)→ 初等行变换 (E,A−1B) \left(A, B\right) \xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left(E, A^{-1} B\right) 。 注意：整个变换只能使用初等行变换。

上面例题用初等变换法解方程组

对矩阵进行初等行变换，把前3列化为单位矩阵E, (具体怎么画参考阶梯形矩阵的化法), 最终有

D=[100101040013]D=\left[\begin{array}{lll:l} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]

左侧已经是单位矩阵了，所以 X=[143]X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 3\end{array}\right]

这种方法只做一次变换即可，比解法1容易多了，是必须要掌握的方法。而且可以推广到多个方程

例 解矩阵方程

(2312)X=(1423)\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) X =\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}\right)

解：由

(AB)=(23141223)→r1↔r2(12232314)→r2+(−2)r1(12230−1−3−2)→(−1)r2r1+2r2(10−4−10132),\begin{aligned} &\left(\begin{array}{ll} A & B \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2}\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow{r_2+(-2) r_1}\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \end{array}\right) \xrightarrow[(-1) r_2]{r_1+2 r_2}\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -4 & -{1} \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right), \end{aligned}

得

X=(2312)−1(1423)=(−4−132).X =\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -4 & -1 \\ 3 & 2 \end{array}\right) .

上面方程有两列，如果还原，他是

(2312)(x1x3x2x4)=(1423)\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ll} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}\right)

包含了4个方程。

利用逆矩阵解方程（常见三种类型的解法）

利用逆矩阵还可以求解矩阵方程

①AX=B①A X=B

若矩阵 AA 可逆，则有

A−1(AX)=A−1B⇒(A−1A)X=A−1B⇒X=A−1B.A^{-1}(A X)=A^{-1} B \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X=A^{-1} B \Rightarrow X=A^{-1} B .

解方程步骤

①首先构造分块矩阵 (A∣B)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) ②对矩阵 (A∣B)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B}) 实施初等行变换，将 AA化为EE 则右边就是结果XX

例 解方程

(−14−27)X=(2−1310−2)\left(\begin{array}{ll} -1 & 4 \\ -2 & 7 \end{array}\right) \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)

解：

(−142−13−2710−2)\left(\begin{array}{cc|ccc} -1 & 4 & 2 & -1 & 3 \\ -2 & 7 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)
∼→(1−4−21−30−1−32−8)\sim \rightarrow\left(\begin{array}{ll|lll} 1 & -4 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -3 & 2 & -8 \end{array}\right)
∼(1010−729013−28)\sim \left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & 0 & 10 & -7 & 29 \\ 0 & 1 & 3 & -2 & 8 \end{array}\right)

所以方程的解为

X=(10−7293−28)\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc} 10 & -7 & 29 \\ 3 & -2 & 8 \end{array}\right)

②XA=B②X A=B

若矩阵 AA 可逆，则有

(XA)A−1=BA−1⇒X(AA−1)=BA−1⇒X=BA−1.(\mathrm{X} A) A^{-1}=B A^{-1} \Rightarrow X\left(A A^{-1}\right)=B A^{-1} \Rightarrow X=B A^{-1} .

然而如果使用上面的解法需要计算两步，或者使用矩阵的初等列变换，因此矩阵左乘是初等行变换，矩阵右乘是列变换，而我们默认总是使用行变换，我们通常采用下面的方法，

对于方程 XA=BX A=B ，可以先用初等行变换求解方程 ATXT=BT A^{\mathrm{T}} X^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}，再转置求出X X,整个过程只使用初等行变换

下面视频介绍了上面变换的意义（视频来B站《线性代数及解题技巧（全112讲）秦静》） <video width=600px height="500px"; controls>

例 解方程

X(10−20−21−2−15)=(−11012−1)\boldsymbol{X}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right)

解：

(AT∣BT)=(10−2−110−2−112−2150−1)\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \mid \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 5 & 0 & -1 \end{array}\right)
∼(10−2−110−2−112011−21)\sim \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)
∼(10−2−11011−21001−34)\sim \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 4 \end{array}\right)
∼(100−790101−3001−34)\sim \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 0 & -7 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 4 \end{array}\right)

所以 XT=(−791−3−34)\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}-7 & 9 \\ 1 & -3 \\ -3 & 4\end{array}\right) \quad 从而 X=(−71−39−34)\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}-7 & 1 & -3 \\ 9 & -3 & 4\end{array}\right)

③AXB=C③A X B=C.

若矩阵 A、BA 、 B 可逆均可逆，则有

A−1(AXB)B−1=A−1CB−1⇒(A−1A)X(BB−1)=A−1CB−1⇒X=A−1CB−1.A^{-1}(A X B) B^{-1}=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X\left(B B^{-1}\right)=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow X=A^{-1} C B^{-1} .

所以，可以用初等行变换的方法解矩阵方程.

若 A\boldsymbol{A} 能行等价于 E\boldsymbol{E} ，则 A\boldsymbol{A} 可逆，且 B\boldsymbol{B} 就变成了 X=A−1B\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} ．

此题是 AXB=C\boldsymbol{A} \boldsymbol{X B}=\boldsymbol{C} 类型的方程．令 XB=Y\boldsymbol{X B}=\boldsymbol{Y} ，先求解方程 AY=C\boldsymbol{A Y}=\boldsymbol{C} ，然后求解方程 BTXT=YT\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}} ，最后转置求出 X\boldsymbol{X}, 他是上面两种的组合，见下面例题

例 解方程

(11−1−2)X(−11001−110−2)=(1−10−101)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right) \boldsymbol{X}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)

解：

(A∣C)=(111−10−1−2−101)→r2+r1(111−100−10−11)→(−1)r2r1+r2(101−210101−1)(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{C})=\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2+r_1}\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow[(-1) r_2]{r_1+r_2}\left(\begin{array}{cc|ccc} 1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)

于是得 Y=(1−2101−1)\boldsymbol{Y}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right) ．再由

(BT∣YT)=(−10110110−210−1−21−1)→r2+r1(−10110011−110−1−21−1)→(−1)hr3+r2(−10110011−1100100)→r2+(−1)rnr2(−1)r5(−1)rn(100−10010−1100100)\left(\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \mid \boldsymbol{Y}^{\mathrm{T}}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2+r_1}\left(\begin{array}{ccc|cc} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow[(-1) h]{r_3+r_2}\left(\begin{array}{ccc|cc} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow[r_2+(-1) r_n]{\substack{r_2(-1) r_5 \\ (-1) r_n}}\left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

可知 XT=(−10−1100)\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) ，从而 X=(−1−10010)\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) ．

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