19._矩阵的初等变换与矩阵等价

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换包含3条规则：

（1）对换变换——交换矩阵的两行。 （2）数乘变换——将某行全体元素都乘以某一非零常数。 （3）倍加变换一一把另一行的常数k倍加到某行上．

矩阵的初等变换来自解方程组，下面通过对边解方程进行理解。

例 求方程组的解

{x1−2x2+x3=02x2+x3=72x1+x2−x3=1\left\{\begin{array}{r} x_1-2 x_2+x_3=0 \\ 2 x_2+x_3=7 \\ 2 x_1+x_2-x_3=1 \end{array}\right.

解：STEP1 下面分别采用方程组记号与矩阵记号来描述消元过程，并将结果呈现，可以从对照中看到运用矩阵的方便性，写出系数对应的增广矩阵。

{x1−2x2+x3=02x2+x3=72x1+x2−x3=1[1−210021721−11]\left\{\begin{array}{r} x_1-2 x_2+x_3=0 \\ 2 x_2+x_3=7 \\ 2 x_1+x_2-x_3=1 \end{array} \quad\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 7 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]\right.

STEP2 保留第一个方程中的 x1x_1 ，并且消去其余方程中的 x1x_1 ．注意并不是真正地消去变量 x1x_1 ，实质上是把 x1x_1 的系数化为 0 。把第一个方程的 -2 倍加到第三个方程上，将计算结果代替原第三个方程。

{x1−2x2+x3=02x2+x3=75x2−3x3=1[1−210021705−31]\left\{\begin{aligned} x_1-2 x_2+x_3 & =0 \\ 2 x_2+x_3 & =7 \\ 5 x_2-3 x_3 & =1 \end{aligned} \quad\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -3 & 1 \end{array}\right]\right.

STEP3 将上述第二个方程的 1 倍加到第一个方程上，第二个方程的 −52-\frac{5}{2} 倍加到第三个方程上，得

{x1+2x3=72x2+x3=7−112x3=−332[1027021700−112−332]\left\{\begin{aligned} x_1+2 x_3 & =7 \\ 2 x_2+x_3 & =7 \\ -\frac{11}{2} x_3 & =-\frac{33}{2} \end{aligned} \quad\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -\frac{11}{2} & -\frac{33}{2} \end{array}\right]\right.

STEP4 将上述第三个方程乘以 −211-\frac{2}{11} ，把 x3x_3 的系数化为 1 ，得

{x1+2x3=72x2+x3=7x3=3[102702170013]\left\{\begin{array}{r} x_1+\quad 2 x_3=7 \\ 2 x_2+x_3=7 \\ x_3=3 \end{array} \quad\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\right.

STEP5 将上述第三个方程的 -1 倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的变量 x3x_3 ．将第三个方程的 -2 倍加到第一个方程上，消去第一个方程中的变量 x3x_3 。

{x1=12x2=4x3=3[100102040013]\left\{\begin{array}{rr} x_1 \quad & =1 \\ 2 x_2 & =4 \\ x_3 & =3 \end{array} \quad\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\right.

STEP6 将上述第二个方程乘以 12\frac{1}{2} ，把 x2x_2 的系数化为 1 ．得方程组的解：

{x1=1x2=2x3=3[100101020013]\left\{\begin{array}{rr} x_1 & =1 \\ x_2 & =2 \\ x_3 & =3 \end{array} \quad\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\right.

利用矩阵的初等变换可以化为阶梯形矩阵，这是线性代数的重点，具体会在 阶梯形矩阵 想象介绍

定理1 设 A\boldsymbol{A} 是一个 m×nm \times n 的矩阵，对 A\boldsymbol{A} 进行一次初等行变换相当于在 A\boldsymbol{A} 的左边乘一个相应类型的 mm 阶初等矩阵；对 A\boldsymbol{A} 进行一次初等列变换相当于在 A\boldsymbol{A} 的右边乘一个相应类型的 nn 阶初等矩阵．

矩阵的等价

矩阵的等价来源于“同解方程组”，请看下面两个方程

{x+y=42x−y=−1...(1)\begin{cases} x+y=4 \\ 2x-y=-1 \end{cases} ...(1)

和

{x+2y=7x−y=−2...(2)\begin{cases} x+2y=7 \\ x-y=-2 \end{cases} ...(2)

虽然这是两个完全不同的方程，但是他们的解是一样都是，即他们的解都是

{x=1y=3...(3)\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases} ...(3)

如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来参见，令

A=(112−1),X=(13),B=(4−1)\boldsymbol{ A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2&-1 \end{array}\right) , \boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 3 \end{array}\right) , \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 \\ -1 \end{array}\right)

则第一个方程矩阵乘法就是

AX=B...(4)\boxed{AX=B ...(4)}

,令

Q=(121−1),X=(13),P=(7−2)\boldsymbol{ Q}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1&-1 \end{array}\right) , \boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 3 \end{array}\right) , \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc} 7 \\ -2 \end{array}\right)

则第二个方程矩阵乘法就是

QX=P...(5)\boxed{QX=P ...(5)}

还记得初中学过的代数式吗？假如 ax=bax=b 和 qx=pqx=p，解第一个式子中的x=ba=a−1bx=\frac{b}{a}=a^{-1}b,然后带入第二个式子qa−1b=pqa^{-1}b=p即p=qa−1bp=qa^{-1}b, 如果a≠0a \ne 0,再令a−1=ta^{-1}=t,就得到 p=qtbp=qtb，即我们可以说 p∼tp \sim t

同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同，我们有理由相信，(4)中的XX可以带入(5)，带入后应该是

QA−1B=PQA^{-1}B=P

如果AA可逆，可以把A−1A^{-1}命名为TT,带入上式就是 QTB=PQTB=P

我们知道，这里的TT就是一个矩阵的名字，上式等号左右调换一下即

P=QTBP=QTB

我们给他一个名字：称矩阵PP和矩阵TT是等价的。

这里我们可以从向量的角度捋一捋矩阵的等价。 从(3)可以看出， 在AA基坐标系里看向量XX，他的坐标值是

B=(4−1)\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 \\ -1 \end{array}\right)

而到了BB坐标系里看向量XX，他的坐标值是

P=(7−2)\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc} 7 \\ -2 \end{array}\right)

向量还是是同一个向量XX，如果坐标系变了(由A坐标系变为Q坐标系)，其坐标值也会变（由B坐标值变为P坐标值）。

因此，两个矩阵等价，最基本的意思就是：通过线性变换在不同基下的表示，或者说更改观看的视角。

比如，要给一头猪拍照，可以正面拍，侧面怕，上面拍、下面拍，选择的视角不同，拍出的照片也会不同，但是不论怎么拍，最根本的物体没有变，猪还是那头猪，不能从正面拍是一头猪，侧面拍就变成一头牛了。如果更抽象一些，若AA和BB矩阵等价，但是AA比较复杂而BB比较简单，那么我们通过研究BB的性质，就可以推导出AA的性质，这是矩阵等价的作用，比如他们有相同的特征值与特征向量，有相同的矩阵的秩等。

在本站附录里介绍了矩阵的等价、合同和相似 得意义

矩阵的等价的定义

若有AA和BB两个矩阵，存在可逆矩阵 P\boldsymbol{P} 和 Q\boldsymbol{Q}, 使得 B=PAQB=P A Q 则称AA和BB等价。

矩阵等价的性质

等价矩阵的性质包括： 1.反身性：矩阵A与自身等价，即A = A。 2.对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。 3.传递性：若矩阵A与B等价，且B与C等价，则A与C等价。 4.行列式相等：若矩阵A与B等价，则它们的行列式相等，即det(A) = det(B)。 5.相同秩：等价矩阵具有相同的秩，即rank(A) = rank(B)。 6.相同特征值：等价矩阵具有相同的特征值。 7.相同特征向量：等价矩阵具有相同的特征向量。 8.可逆性：若矩阵A是可逆的，则与其等价的所有矩阵也是可逆的。 9.初等变换：矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换，从而保持它们的等价性。 10.标准型：每个矩阵可以通过初等变换转换为一个唯一的标准形式（阶梯形、三角形或对角线矩阵）。 11.矩阵等价的定义：如果存在可逆矩阵P和Q，使得B=PAQ，则A与B等价，其中P和Q分别是n×n和m×m阶的可逆矩阵。

正如上面方程的解C最终化为对角矩阵一样，如果进行使用矩阵的初等变换，则解可以变成E单位阵

E=(1001).\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) .
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