5._样本数据的整理与显示 - 概率论与数理统计

经验分布函数

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，若将样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 由小到大进行排列，记为 $x_{(1)} \leqslant x_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant x_{(n)}$ ，则称 $X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ 为有序样本．定义函数

F_n(x)= \begin{cases}0, & x<x_{(1)} \\ k / n, & x_{(k)} \leqslant x<x_{(k+1)}, k=1,2, \cdots, n-1 \\ 1, & x \geqslant x_{(n)}\end{cases}

称 $F_n(x)$ 为经验分布函数．显然 $F_n(x)$ 是一非减右连续函数，且满足 $F_n(-\infty)=0$ 和 $F_n(+\infty)=1$ ．【例 6．2．1】某食品厂生产听装饮料，现在从生产线上随机抽取 5 听饮料，称得其净重为（单位： g ）

\begin{array}{lllll} 347 & 351 & 355 & 351 & 344 . \end{array}

求其经验分布函数．解经排序可得有序样本：

x_{(1)}=344, \quad x_{(2)}=347, \quad x_{(3)}=351, \quad x_{(4)}=351, \quad x_{(5)}=355,

其经验分布函数为

F_{(n)}= \begin{cases}0, & x<344, \\ 0.2, & 344 \leqslant x<347, \\ 0.4, & 347 \leqslant x<351, \\ 0.8, & 351 \leqslant x<355, \\ 1, & x \geqslant 355 .\end{cases}

对于经验分布函数 $F_n(x)$ ，格里汶科（Glivenko）在 1933 年证明了以下结果．

定理（格里纹科定理）设 $X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ 是取自总体分布函数为 $F(x)$ 的样本， $F_n(x)$ 是其经验分布函数，当 $n \rightarrow \infty$ 时，有

P\left(\sup _{-\infty<x<\infty}\left|F_n(x)-F(x)\right| \rightarrow 0\right)=1

格里纹科定理表明：当 $n$ 相当大时，经验分布函数是总体分布函数 $F(x)$ 的一个良好的近似．证明略。

6．2．2 频数－频率分布表通过观察或试验得到的样本值一般都是杂乱无章的，通常没有什么价值，需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性．样本数据的整理是统计研究的基础，频数分布表或频率分布表是整理数据的常用方法．以下面的例子来介绍．

6.2.2 从贵州某高校中随机抽取 30 名学生，为了研究其月生活费情况，收集了这 30 学生未经整理的月生活费，如表6．2．1所示。 $图片$

以下以例 6．2．2 为例介绍频数分布表的制作方法．表 6．2．1 是 30 名学生月生活费的原始资料，这些观测数据可以记为 $x_1, x_2, \cdots, x_{30}$ ，数据整理的具体步骤如下．（1）对样本进行分组首先确定组数 $k$ ，作为一般性的原则，组数通常为 $5 \sim 20$ 个．对容量较小的样本，通常将其分为 5 组或者 6 组，容量为 100 左右的样本可以分为 $7 \sim 10$ 组，容量为 200 左右的样本可以分为 $9 \sim 13$ 组，容量为 300 左右及以上的样本可分为 $12 \sim 20$ 组，目的是使用足够的组数来表示数据的变异．本例只有 30 个数据，将之分为 5 组，即 $k=5$ ．（2）确定每组组距每组区间的长度可以相同也可以不相同，在实际中常选用长度相同的区间方便进行比较，各组区间长度称为组距．样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中的最小观测值为 $x_{(1)}$ ，最大观测值为 $x_{(n)}$ ，其近似公式为

组距 $d=\left(\right.$ 最大观测值 $x_{(n)}-$ 最小观测值 $\left.x_{(1)}\right) /$ 组数．本例中，数据最大观测值为 640 ，最小观测值为 420 ，故组距近似为

d=(640-420) / 5=44

为方便，取组距为 50 ．（3）确定每组组限各组区间端点为： $a_0, a_0+d=a_1, a_0+2 d=a_2, \cdots, a_0+k d=a_k$ ．各分组区间为： $\left(a_0, a_1\right],\left(a_1, a_2\right], \cdots,\left(a_{k-1}, a_k\right]$ ，其中， $a_0$ 略小于最小观测值， $a_k$ 略大于最大观测值。

本例中取 $a_0=400, a_5=650$ ，因此本例的分组区间为（400，450］，（450，500］，（500，550］，（550，600］），（600，650］．（4）列出频数－频率分布表统计样本数据落入每个区间的个数——频数，然后列出其频数－频率分布表 6．2．2． $图片$

前面介绍了频数、频率的表格形式，它也可以用直方图表示，这在许多场合更直观。频数分布在组距相等的场合常用宽度相等的长条矩形表示，矩形的高低表示频数的大小．在图形上，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标表示频数，如图 6．2．1 所示．如果将纵坐标改成频率，则得到频率直方图．为使所有矩形面积和为 1 ，可将纵坐标表示频率／组距，如此得到的直方图称为单位频率直方图，或简称频率直方图．此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化．

用上述方法对抽取数据加以整理，编制频数分布表，作直方图，画出频率分布曲线，这就可以直观地看到数据分布的情况，在什么范围，较大较小的各有多少，在哪些地方分布得比较集中，以及分布图形是否对称等，所以，样本的频率分布是总体概率分布的近似．样本是总体的反映，但是样本所含的信息不能直接用于解决我们所要研究的问题，而需要把样本所含的信息进行数学上的加工，使其浓缩起来，从而解决问题．

$图片$