3._按分布收敛 - 概率论与数理统计

按分布收敛

分布函数全面描述了随机变量的统计规律，因此讨论随机变量分布函数序列 $\left\{F\left(x_n\right)\right\}$ 的收敛有重要的意义。

定义设随机变量 $X, X_1, X_2, \cdots$ 的分布函数分别为 $F(x), F_1(x), F_2(x), \cdots$ ．若对 $F(x)$ 的任意连续点 $x$ ，都有

\lim _{n \rightarrow \infty} F_n(x)=F(x)

则称 $\left\{F_n(x)\right\}$ 弱收敛于 $F(x)$ ，记为 $F_n(x) \xrightarrow{W} F(x)$ 。也称 $\left\{X_n\right\}$ 按分布收敛于 $X$ ，记为 $X_n \xrightarrow{L} X$ ．依概率收敛与弱收敛之间有什么关系呢？下面定理给出依概率收敛是比弱收敛更强的收敛。

定理 $\quad X_n \xrightarrow{P} X \Rightarrow X_n \xrightarrow{L} X$ ．证明略。上面定理说明了若随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 依概率收敛于 $X$ ，则一定按分布收敛于 $X$ ．反之，不一定成立。那么在什么情况下，这两种收玫等价呢？下面定理给出了两种收玫等价的条件。

定理若 $c$ 为常数，则 $X_n \xrightarrow{P} c$ 的充要条件是 $X_n \xrightarrow{L} c$ ．证明略．

按分布收敛的通俗解释

事实上, 这是最弱的一种收敛, 它蕴含在其他所有类型的收敛中. 我们来看个例子．设 $X_n$ 是一个服从均匀分布的随机变量，其概率密度函数为

f_n(x)= \begin{cases}\frac{1}{n} & \text { 若 } x \in\left\{0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-2}{n}, \frac{n-1}{n}\right\} \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}

下标 $n$ 是为了强调我们有 $n$ 个非零值，这些值是均匀间隔的，如下图( $n=10$ )

$图片$

从概率密度函数中不难看出，对于任意的 $x \in[0,1]$ ，都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0$ ．考察这一点最简单的方法是，除了 $n$ 个特殊值外， $f_n(x)=0$ 对其余所有 $x$ 均成立．当 $x$ 取任意特殊值时， $f_n(x)$ 都等于 $1 / n$ 。随着 $n$ 的增加，这个值会减小到 0 。

分布函数的情况则截然不同．当 $x \in[0,1]$ 时， $F_n(x)$ 等于 $\frac{1}{n}$ 乘以 $\{0,1 / n, 2 / n, \cdots$ ， $(n-1) / n\}$ 中不大于 $x$ 的值的个数。这是因为分布函数等于随机变量不大于 $x$ 的概率．对于任意的 $x \in[0,1]$ ，

F_n(x)=\sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n-1 \\ k / n \leqslant x}} \frac{1}{n}=\frac{\lfloor n x\rfloor}{n},

其中，函数 $\lfloor y\rfloor$ 表示不超过 $y$ 的最大整数．因为 $\lfloor y\rfloor$ 与 $y$ 最多相差 1 ，所以 $n x-1 \leqslant\lfloor n x\rfloor \leqslant n x$ ，于是有

x-\frac{1}{n} \leqslant F_n(x) \leqslant x

当取极限 $n \rightarrow \infty$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} F_n(x)=x$ ．这正是服从 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量的累积分布函数。

我们看到了这种收敛被称为弱收敛的原因：概率密度函数没有收敛到均匀分布的概率密度函数。乍一看，这应该会令人感到失望，但是从很多方面来说还不算太糟。回想一下，我们可以利用分布函数来计算事件的概率．