2._依概率收敛

依概率收敛

设 $X_1, X_2...X_n$, 是随机变量序列，如果存在一个常数 $c$ ，使得对任意一个 $\varepsilon>0$ ， 总有 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right|<\varepsilon\right)=1$, 那么称 $X_1, X_2, \cdots$ 依概率收敛于 $c$ ，记作 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} c$ 当 $n$ 充分大时 $\left\{X_n \in(c-\varepsilon, c+\varepsilon)\right\}$ 几乎总是发生或等价地 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right| \geq \varepsilon\right)=0$.

依概率收敛的通俗解释

假设随机扔一枚硬币，要判断正面向上的概率，我们很容易知道他的概率为$\frac{1}{2}$，也就是$c=50\%$

但是，当你真的进行实验时。 第一次：扔10次，可能正面的概率为 49%, 和真实的误差是$1\%$ 第二次：扔100次，可能正面的概率为 50.8%, 和真实的误差是$0.8\%$ 第三次：扔1000次，可能正面的概率为 49.5%, 和真实的误差是$0.5\%$ 第四次：扔10000次，可能正面的概率为 49.9%, 和真实的误差是$0.1\%$ 第五次：扔10000次，可能正面的概率为50.1%, 和真实的误差是$0.1\%$ 第六次：扔100000次，可能正面的概率为50.001%,和真实的误差是$0.001\%$ ... 可以看到，随着你扔硬币的次数越来越多，出现的概率越来越接近理论上的真实值。

如何定义“越来越接近”呢？ 我们就把高等《高等数学》里极限那套理论搬过来使用：以上面数据为例，当你给定一个数， ①比如要求误差小于$\varepsilon=0.01$，那我只要扔超过100次就可以了。 ②如果要求误差小于$\varepsilon=0.0005$，那我只要扔超过1000次就可以了。 总之，不论你给我的$\varepsilon$有多小，我扔的次数超过N，就能满足你的苛刻的要求。此时，我们就说他是依概率收敛。

依概率收敛的正反两种解释

再看一下这个式子 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right|<\varepsilon\right)=1$, 他的正面描述是：当你扔的次数变成无穷大，那么“硬币正面朝上的概率为50%”的可能性是100%（也就是1）

再看第二个式子 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right| \geq \varepsilon\right)=0$. 他的反面解释是：你扔的次数变成无穷大，那么“硬币正面朝上的概率不为50%”的可能性是0%（也就是0）

所以上面两个式子是等价的。

依概率收敛性具有下列性质：

定理1 设 $\left\{X_n\right\},\left\{Y_n\right\}$ 是两个随机变量序列，$a, ~ b$ 是两个常数．如果

则有： （1）$X_n \pm Y_n \xrightarrow{P} a \pm b$ ； （2）$X_n \times Y_n \xrightarrow{P} a \times b$ ； （3）$X_n \div Y_n \xrightarrow{P} a \div b(b \neq 0)$ ．

定理2 如果 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} c ， Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} b$ ，且函数 $g(x, y)$ 在$(a, b)$ 处连续

例如 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 1 ， Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 2$ ，则 $X_n+Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 3$

这说明依概率收敛具有简单的可加性和可乘性。