0.7 分块矩阵

类似于集合的划分，一个矩阵的分块是把该矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵。使得原矩阵的每一个元落到日只落到一个分块子矩阵中。为识别一些有用的结构，矩阵分块往往是一个方便的方法。

0.7.1子矩阵设 $\Lambda \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，对于指标集 $\alpha \subseteq \{1,\dots ,m\}$ 和 $\beta \subseteq \{1,\dots ,n\}$ ，把 $A$ 中位于标号 $\alpha$ 的诸行和标号为 $\beta$ 的诸列的(子)矩阵记作 $A(\alpha ,\beta)$ 例如

如果 $m = n$ 且 $\beta = \alpha$ ，了矩阵 $A(\alpha, \alpha)$ 称为 $\Lambda$ 的主子矩阵，简记为 $A(\alpha)$ 。说明一个子矩阵或一个主子矩阵是经划去那些行或列得来的，常常要比说它们包括那些行或列要方便些。这可以通

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过补充指标集来完成。例如， $A(\alpha', \beta')$ 是划去标号为 $\alpha$ 的诸行与标号为 $\beta$ 的诸列后的结果。

矩阵 $A$ 的子方阵的行列式称为 $A$ 的一个子式。如果子矩阵是一个主子矩阵，那么其子式称为主子式。那些出现在 Laplace 展开式 (0.3.1) 中的带正负号的子式 $[( -1)^{i-1} \det A_{ij}]$ 称为 $A$ 的代数余子式。约定，空主子式是 1，即 $\det A(\phi) = 1$ 。

0.7.2 分块与乘法 如果 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $\{1, \cdots, m\}$ 的一个划分，而 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 组成 $\{1, \cdots, n\}$ 的一个划分，那么诸矩阵 $A(\alpha_{i}, \beta_{j})$ ， $1 \leqslant i \leqslant t$ ， $1 \leqslant j \leqslant s$ ，构成 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ 的一个分块。如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ 和 $B \in M_{n,p}(\mathbf{F})$ 已经分块，且使 $\{1, \cdots, n\}$ 的两个划分重合，那么就说这两个矩阵分块是共形的。这时，

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其中 $A(\alpha_{t},\beta_{k})$ 和 $B(\beta_{k},\gamma_{j})$ 是 $A$ 和 $B$ 的共形分块．等式左边是，乘积 $AB$ 的一个子矩阵（按通常方式计算），而右边的每一个被加项是一个标准的矩阵乘积．因此，共形的分块矩阵的乘法与通常的矩阵乘法相仿．当各被加项有相同的分块时，分块矩阵的加法也是有意义的.

0.7.3 分块矩阵的逆 求出非奇异分块矩阵 $A$ 的逆的相应子块，即用相应的分块形式给出分块矩阵的逆，有时很有用。可以采用各种不同的，但彼此等价的方式来求分块矩阵的逆——假定 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 的某些子矩阵及 $A^{-1}$ 也是非奇异的。为简单起见，设 $A$ 是如下的分块

其中， $A_{n}\in M_{n_{1}}(\mathbf{F})$ ， $i = 1$ ，2日 $n_1 + n_2 = n$ ，关于 $A^{-1}$ 的相应分块形式有一个有用的表示式

其中，假定所有有关的逆存在。或者，用一般的指标集记号，可以记

以及

仍假定有关的逆存在。还可以写出其余的表示式。注意， $A^{-1}(\alpha)$ 是 $A^{-1}$ 的子矩阵，而 $A(\alpha)^{-1}$ 是 $A$ 的一个子矩阵的逆，并且这两个矩阵一般不相同。

0.7.4 小秩修正矩阵的逆 如果已知某个矩阵的逆，了解该矩阵再加上一个“小”秩矩阵时，其逆如何变化，这同样是一个有意义的问题。有这样的简便公式，只要修正矩阵的形式足够简单，就可以使新逆的计算比从头开始计算要简便。设非奇异矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 的逆 $A^{-1}$ 已知，考虑

其中， $X$ 是 $n\times r$ 矩阵，而 $R$ 是 $r\times r$ 非奇异矩阵．如果 $B$ 是非奇异的，那么

如果 $r$ 比 $n$ 小得多，那么求 $R$ 和 $R^{-1} + YA^{-1}X$ 的逆可能要比求 $B$ 的逆更为容易，并且，如果

$A$ 是容易求逆的，且有使乘法简化的形式，那么，采用这个公式可能要胜过直接求 $B$ 的逆。例如，如果修正矩阵有秩 1， $X$ 是 $n \times 1$ 的， $Y$ 是 $1 \times n$ 的，且 $R = [1]$ ，上述公式就变成

（注意，此时 $XY = B - A$ ）．特别地，如果

对于 $x, y \in \mathbf{F}^n, l \in M_n(\mathbf{F})$ 成立，那么，只要 $y^i x \neq -1$ ，就有

0.8 行列式(续)

关于行列式的一些补充材料和恒等式对于某些论题的阐述很有用。其中大部分内容在基础线性代数中不易找到。

0.8.1 复合矩阵 设矩阵 $\Lambda \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，其某个阶数的所有子式组成的阵列称为 $\Lambda$ 的复合矩阵。特别地，它的 $\alpha, \beta$ 元为 $\det A(\alpha, \beta)$ 的 $\binom{m}{k} \times \binom{n}{k}$ 矩阵叫做 $A$ 的第 $k$ 次复合矩阵，记作 $C_k(A)$ 。这里， $\alpha \subseteq \{1, \cdots, m\}$ 和 $\beta \subseteq \{1, \cdots, n\}$ 都是基数为 $k \leqslant \min \{m, n\}$ 的指标集，按通常的辞典式次序排列，即 $\{1, 2, 4\}$ 排在 $\{1, 2, 5\}$ 之前， $\{1, 2, 5\}$ 排在 $\{1, 3, 4\}$ 之前，等等。例如，如果

则

如果 $A \in M_{k,n}(\mathbf{F})$ ，且 $B \in M_{k,n}(\mathbf{F})$ ，那么

另外，还有

若 $I \in M_{n}$ , 则 $C_{k}(I) = I \in M_{(1)}$ .

若 $A \in M_{n}$ 是非奇异的，则 $C_{k}(A)^{-1} = C_{k}(A^{1})$

若 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，则 $C_k(A^T) = C_k(A)^T$ .

及

若 $A \in M_{m,n}(\mathbf{C})$ ，则 $C_k(A^*) = C_k(A)^*$ 。

0.8.2 经典伴随和逆 如果 $\Lambda \in M_{n}(\mathbf{F})$ ，由诸代数余子式

组成的转置矩阵 $B = [b_{ij}] \in M_n(\mathbf{F})$ 称为 $\Lambda$ 的（经典）伴随，常记作 $\operatorname{adj} A$ 。有时用转置伴随来代替伴随，以免与Hermite伴随 $A^*$ 相混淆。注意，

其中

用Laplace展开式计算行列式的公式说明.

因而，如果 $A$ 是非奇异的（ $\det A \neq 0$ ），那么

一般说来，用伴随来数值计算矩阵的逆不是可取的方法，但是伴随对于给出逆的解析表达式是有用的.

$\ominus$ 原书给出的这个关系式是错误的（但书中尚未用到这个关系式），adj $A$ 与 $(A)$ 应是如下关系：

其中 $n$ 阶方阵 $J_{0}$ 和 $J_{1}$ 分别为：

0.8.3 Cramer法则 当 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 非奇异时，Cramer法则是求线性方程组 $Ax = b$ 唯一解的一种方法。它和逆的伴随表示有相同的计算手续，一般，只有在需要解析地给出解向量的个别解析分量时，这种方法才有用。如果 $x_{i}$ 是解向量 $x \in \mathbb{F}^{n}$ 的第 $i$ 个分量，那么，Cramer法则可述为公式

记号 $A \leftarrow b$ 表示 $M_{n}$ 中第 $i$ 列是 $b$ ，其余各列与 $A$ 的对应列相同的矩阵。Cramer 法则可直接由行列式的乘法性质推出。把方程组 $A_{i} = b$ 改写成

然后两边取行列式（利用乘法性质）可得

而 $\operatorname{det}(I - x) = x$ ，因而公式得证。

0.8.4 逆的子式 推广非奇异矩阵的逆的伴随公式，有如下重要公式：

它把 $\Lambda^1$ 的诸子式与 $A \in M_{\lambda}(\mathbf{F})$ 的诸子式联系起来。对于主子阵，这个公式有简单的形式

0.8.5 Schur补和行列式公式 对于给定的矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ ，设 $\alpha \subseteq \{1, \dots, n\}$ 是使 $A(\alpha)$ 非奇异的指标集．记 $A(\alpha)$ 的逆为 $A(\alpha)^{-1}$ ．用 $\alpha$ 和 $\alpha'$ 对 $A$ 作 $2 \times 2$ 分块，据此，关于det $A$ 的重要公式是

注意，这个公式推广了(0.3.1)中的关于 $2 \times 2$ 矩阵行列式的普通公式。称特殊矩阵

为 $A$ 的Schur补，将

然后把 $A_{:1}$ 和 $A(\alpha)$ 等同起来，就可验证 $\operatorname{det} A$ 和 Schur 补公式成立。注意，Schur 补已在 $A^{-1}$ 的分块中出现过[见(0.7.3)]。

0.8.6 Sylvester 恒等式 设 $\alpha \subseteq \{1, \dots, n\}$ 是固定的指标集，设 $B = [b_{ij}] \in M_{n-k}(\mathbf{F})$ 由

所定义，其中 $k$ 是 $\alpha$ 的基数， $i, j \in \{1, \dots, n\}$ 是不包含在 $\alpha$ 中的指标， $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 。另一个有用的行列式恒等式是

0.8.7 Cauchy-Binet 公式 这个有用的公式是可以想起来的，这是因为它看上去与矩阵的乘法公式相类似。它等价于复合矩阵的乘法性质（见 0.8.1），所以这不是偶然的巧合。设 $A \in M_{m,k}(\mathbf{F})$ ， $B \in M_{k,p}(\mathbf{F})$ 和 $C = AB$ 。再设 $1 \leqslant r \leqslant \min\{m, k, n\}$ ， $\alpha \subseteq \{1, \cdots, m\}$ 和 $\beta \subseteq \{1, \cdots, n\}$ 都是基

数为 $r$ 的指标集。关于 $C$ 的 $\alpha, \beta$ 子式的表示式是

其中和式取遍基数为 $r$ 的所有指标集 $\gamma \subseteq \{1, \dots, k\}$ .

0.8.8子式间的关系已知 $A\in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，给定基数为 $\pmb{k}$ 的固定指标集 $\alpha \subseteq \{1,\dots ,m\}$ ，当 $\omega \subseteq \{1,\dots ,n\}$ 取遍基数为 $\pmb{k}$ 的有序指标集时，诸子式

不是代数无关的，因为在各子矩阵中诸子式多于诸子矩阵中的各不相同的元，在这些子式当中，二次关系是知道的。设 $i_1, i_2, \dots, i_k \in \{1, \dots, n\}$ 是 $k$ 个互异的指标，不一定取自然顺序，又设

表示这样一个矩阵，它的各行用 $\alpha$ 标号，而它的第 $j$ 列是 $A(\alpha, \{1, \dots, n\})$ 的 $i_j$ 列。这与前述记号的差别是，列可以不按自然顺序，如在 $A(\{1, 3\}; 4, 2)$ 中，它的第 $i$ 列有 $A$ 中的1，4元和3，4元。于是有关系式

它对于每个 $s = 1, \dots, k$ 和互异指标的所有序列

成立.