0.9 矩阵的特殊形式

经常会遇到某些特殊形式的矩阵，这些矩阵具有特殊的性质。为了参阅，其中有些矩阵值得在这里介绍，并给出其名称。

0.9.1 对角矩阵 如果矩阵 $D = \left\{d_{ij}\right\} \in M_n$ 在 $j \neq i$ 时，有 $d_{ij} = 0$ ，就称 $D$ 为对角矩阵。平常，把这个矩阵记作 $D = \operatorname{diag}(d_{11}, \dots, d_{nn})$ 或 $D = \operatorname{diag} d$ ，其中 $d$ 是 $D$ 的对角元组成的向量。如果一个对角矩阵的所有对角元都是正(非负)实数，就称它为正(非负)对角矩阵。注意，术语正对角矩阵指的是，矩阵是对角形的，且有正对角元；它不是指那种所有对角元碰巧都是正数的一般矩阵。单位矩阵是正对角矩阵的一个例子。如果对角矩阵 $D$ 的诸对角元都相等，就称 $D$ 为纯量矩阵；即对某 $\alpha \in \mathbf{C}$ 有 $D = \alpha I$ 。一个矩阵左乘或右乘以一个纯量矩阵，与用相应的纯量乘这个矩阵的作用相同。

一个对角矩阵的行列式正好是它的诸对角元之乘积： $\det D = \prod_{i=1}^{n} d_{ii}$ 。因而，一个对角矩阵是非奇异的，当且仅当它的所有对角元是非零的。 $A \in M_n$ 左乘以对角阵 $D$ ，即 $DA$ ，就是用 $D$ 的诸对角元乘 $A$ 的各行（ $A$ 的第 $i$ 行乘以 $d_i$ ， $i=1,2,\dots,n$ ）。而右乘以 $D$ ，即 $AD$ ，就是

用 $D$ 的诸对角元乘 $A$ 的各列。因此，所有对角矩阵关于乘法相互交换，并且，一个对角矩阵与某个矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 可交换，当且仅当在 $D$ 的第 $i$ 个对角元与第 $j$ 个对角元不相同时，有 $a_{ij} = 0$ 。两个对角矩阵的乘积也是对角矩阵，其对角元正好是它们相应的对角元的两两乘积。类似地，可以规定一个对角矩阵的正整数幂。

0.9.2 分块对角矩阵 具有形式

的矩阵 $A \in M_{n}$ 称为分块对角矩阵，其中， $A_{ii} \in M_{n_i}$ ， $i = 1, 2, \dots, k$ 且 $\sum_{i=1}^{k} n_i = n$ 。形式上，这个矩阵常常用 $A = \Lambda_{11} \oplus \Lambda_{22} \oplus \dots \oplus A_{kk}$ 来表示，或简记作 $\oplus \sum_{i=1}^{k} A_n$ ，称这个矩阵为 $A_{11}$ ， $\Lambda_{22}, \dots, A_{kk}$ 的直和。从分块矩阵的乘法来考虑，分块对角矩阵的许多性质推广了对角矩阵的性质，例如， $\operatorname{det} \left( \oplus \sum_{i=1}^{k} A_u \right) = \prod_{i=1}^{k} \operatorname{det} A_b$ ，因而， $\Lambda = \oplus \sum A_n$ 是非奇异的，当且仅当每个 $A_n$ 是非奇异的， $i = 1, 2, \dots, k$ 。另外，直和 $A = \oplus \sum_{i=1}^{k} A_u$ 与 $B = \oplus \sum_{i=1}^{k} B_u$ 可交换，其中 $A_u, B_u$ 是同阶的。当且仅当 $A_u$ 与 $B_u$ 可交换， $i = 1, 2, \dots, k$ 。还有， $\operatorname{rank} \left( \oplus \sum_{i=1}^{k} A_u \right) = \sum_{i=1}^{k} \operatorname{rank} A_u$ 。

0.9.3 三角矩阵 如果矩阵 $T = [t_{ij}] \in M_n$ ，当 $j < i$ 时，有 $t_{ij} = 0$ ，就称 $T$ 为上三角矩阵。如果当 $j \leq i$ 时， $t_{ij} = 0$ ，就称 $T$ 是严格上角矩阵，类似地， $T$ 称为下三角（或严格下三角）矩阵，是指它的转置是上三角（或严格上三角）矩阵。与对角矩阵类似，三角矩阵的行列式是它的诸对角元之乘积。三角矩阵（两种中的任一种）不一定与另一种三角矩阵可交换。 $A \in M_n$ 左乘以下三角矩阵 $L$ ，即 $LA$ ，就是用 $L$ 的第1行至第 $i$ 行的线性组合代替 $A$ 的第 $i$ 行。在述及三角矩阵时，有时采用术语右（代替上）和左（代替下）三角矩阵。三解矩阵的秩至少是（也可能大于）主对角线上非零元的个数。

0.9.4 分块三角矩阵 具有形状

的矩阵 $A \in M_{n}$ 称为分块上三角矩阵，其中 $A_{n} \in M_{n}, i = 1, \dots, k, \sum_{i=1}^{k} n_{i} = n$ ，而“*”表示任意块元。分块下三角矩阵、严格分块下三角矩阵和严格分块上三角矩阵都可以类似地定义。分块三角矩阵的行列式是诸对角子块的行列式之积。分块三角矩阵的秩至少是（也可能大于）诸对角子块的秩之和。

0.9.5 置换矩阵 如果矩阵 $P \in M_{n}$ 在它的每一行和每一列正好有一个元等于1，而其余所有的元都是0，就称 $P$ 为置换矩阵。乘以这样一个矩阵的效果是使被乘矩阵的行或列互换。例如

是置换矩阵，而

是向量 $\left[ \begin{array}{l}1\\ 2\\ 3 \end{array} \right]$ 的行(分量)的互换，即它把第-项换到第2个位置，把第2项换到第1个位置，而让第3项保持在第3个位置．一般地，矩阵 $A\in M_{m,n}$ 左乘以置换矩阵 $P\in M_m$ 就是互换 $A$ 的行，而矩阵 $A\in M_{m,n}$ 右乘以置换矩阵 $P\in M_n$ 就是互换 $A$ 的列．实施(0.3.3)的第一种初等变换的矩阵是一个特殊形式的置换矩阵，称之为对换矩阵.

置换矩阵的行列式是 $\pm 1$ 在(0.3.2)的公式中正好有一个被加项非零]，因而置换矩阵一定是非奇异的。虽然置换矩阵关于乘法一般是不交换的，但两个置换矩阵的乘积还是一个置换矩阵。因为单位矩阵是一个置换矩阵，并且对每个置换 $P$ ，有 $P^T = P^{-1}$ 。所以，置换矩阵构成 $M_{n}$ 中的非奇异矩阵群 $GL(n, \mathbf{C})$ 的一个子群，它具有有限基数 $n!$ 。事实上，任一置换矩阵是一些对换矩阵的乘积。

因为，如果置换矩阵 $P \in M_{n}$ 以某种方式互换行，则 $P^T - P$ 就以同一方式互换列，所以，变换 $A \to PAP^T$ 以相同的方式互换 $A \in M_{n}$ 的行和列，这个变换相当于重排诸元的足码。如果矩阵 $A \in M_{n}$ 有某个置换矩阵 $P$ 使得 $PAP^T$ 是三角矩阵，就称 $A$ 为本性三角矩阵。这些矩阵与三角矩阵有许多共同之处。

0.9.6 轮换矩阵 具有形状

的矩阵称为轮换矩阵。每一行正好是前一行循环一步，使得每一行各元刚好是前一行的各元的一个循环排列。置换矩阵

称为基本轮换转置矩阵。矩阵 $A \in M_{n}$ 可以写成形式

当且仅当 $A$ 是轮换矩阵。这里 $C^{n} = I \equiv C^{m}$ ，而系数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 正好是 $A$ 的第 1 行的诸元。因为这个表达式，轮换矩阵具有与 $C$ 相关联的优美结构。又因为 $C^{n} = I$ ，所以两个轮换矩阵的乘积还是一个轮换矩阵。另外，轮换矩阵在乘法下交换。轮换矩阵有几种推广，例如其中之一，把各行向前（或向右）循环一个大于 1 的固定步数。

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0.9.7 Toeplitz 矩阵 具有形状

的矩阵 $A = \{a_{n}\} \in M_{n + 1}$ 称为Toeplitz矩阵．对于某个给定的序列 $a_{n}, a_{n + 1}, \dots, a_{n - 1}, a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n} \in \mathbb{C}$ ，一般项 $a_{n} = a_{j}$ 沿着平行于主对角线的诸对角线从上到下， $A$ 的各元取常值．Toeplitz矩阵

称为“后向位移”矩阵和“前向位移”矩阵，这是因它们在标准基 $\{e_1, e_2, \dots, e_{n+1}\}$ 的诸元上的作用而得名。矩阵 $A \in M_{n+1}$ 可以写成形式

当且仅当 $\pmb{\Lambda}$ 是Toeplitz矩阵．在涉及三角矩的问题中，自然要遇到Toplitz矩阵.

0.9.8 Hankel 矩阵 具有形状

27！

的矩阵 $A \in M_{n+1}$ 称为 Hankel 矩阵。对于某个给定的序列 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{2n-1}, a_{2n}$ ，一般项

$a_{n} - a_{n + 1}$ ，．沿着与主对角线垂直的诸对角线， $A$ 的各元取常值，在涉及幂矩的问题中，自然要遇到Hankel矩阵．注意，如果

称之为“后向单位”（置换）矩阵，那么，对任意 Toeplitz 矩阵 $T$ ， $PT$ 是 Hankel 矩阵，而对于任意 Hankel 矩阵 $H$ ， $PH$ 是 Toeplitz 矩阵。因为， $P = P^T = P^{-1}$ 和 Hankel 矩阵是对称的，这表明任一 Toeplitz 矩阵是两个对称矩阵（ $P$ 和 Hankel 矩阵）的乘积。

0.9.9 Hessenberg 矩阵 如果矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 对于 $i > j + 1$ 有 $a_{ij} = 0$ :

就称 $A$ 呈上Hessenberg形状，或称 $A$ 是上Hessenberg矩阵．如果 $A^T$ 是上Hessenberg矩阵，就称 $A \in M_n$ 为下Hessenberg矩阵.

0.9.10 三对角矩阵 如果矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 既是上，又是下Hessenberg矩阵，就称之为三对角矩阵。即， $A$ 是三对角矩阵，是指当 $|i - j| > 1$ 时， $a_{ij} = 0$ ：

[28] 用归纳法容易计算三对角矩阵的行列式. 注意

0.9.11 矩阵和 Lagrange 插值法 Vandermonde 矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 是具有形状

的矩阵，其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in \mathbf{F}$ ；即 $A = [a_{ij}]$ ，其中 $a_{ij} - x_i^{i-1}$ 。下述等式成立

于是，一个Vandermonde矩阵是非奇异的，当且仅当 $\pmb{n}$ 个参数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是互异的.

Vandermonde 矩阵出现在插值问题中，所谓插值问题。就是求系数在 $\mathbf{F}$ 中的、次数至多为 $n - 1$ 的多项式 $p(x) - a_{n - 1}x^{n - 1} - a_{n - 2}x^{n - 2} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ ，使得

其中 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 是中 $\mathbf{F}$ 的已知元素。插值条件(0.9.11.3)是关于 $n$ 个未知系数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}$ 的 $n$ 个方程的组，并且它们有形式 $Aa = y$ ，其中 $a - [a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}]^{T} \in \mathbf{F}^{n}, y - [y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n}]^{T} \in \mathbf{F}^{n}$ ，且 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 是Vandermonde矩阵(0.9.11.1)。如果点 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 各不相同，这个插值问题总有一个解，因为这时 $A$ 是非奇异矩阵。

如果点 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是互异的，插值多项式的系数原则上可以通过解方程组(0.9.11.3)求得。但是，用特殊的Lagrange插值多项式

表示插值多项式 $P(x)$ 通常更为有效。每个多项式 $L_{i}(x)$ 为 $n - 1$ 次，且具有性质：如果 $k \neq i$ ， $L_{i}(x_{i}) = 0$ ；而 $L_{i}(x_{i}) = 1$ ，因此，对于满足方程组(0.9.11.3)的、次数不超过 $n - 1$ 的多项式 $p(x)$ ，有 Lagrange 插值公式