0.5 非奇异性

如果一个线性变换或矩阵只对输入0才产生输出0，就称它是非奇异的。否则就称它是奇异的。如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，且 $m < n$ ，则 $A$ 一定是奇异的。设 $A \in M_n(\mathbf{F})$ ，如果存在矩阵 $A^{-1} \in M_n(\mathbf{F})$ （称为 $A$ 的逆）使得 $A^{-1} A = I$ ，就称 $A$ 是可逆的。等价地，如果线性变换 $A$ 是11的，且它的逆变换（它也是线性变换）存在，就称 $A$ 是可逆的。如果 $A \in M_n$ ，且 $A^{-1} A = I$ ，则 $AA^{-1} = I$ ；只要 $A^{-1}$ 存在，它就是唯一的。

可用多种不同的方法来判别 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 是否非奇异，这是很有用的。如果 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ ，以下各命题等价：

(a) $A$ 是非奇异的；
(b) $A$ 存在；
(c) rank $A = n$ :
(d) $A$ 的各行线性无关；
(e) $A$ 的各列线性无关；
(f)det $A\neq 0$
(g) $\Lambda$ 的值域的维数为 $n$ ;
（h） $\pmb{A}$ 的零空间的维数为0；
（i）对每个 $b \in \mathbf{F}^n$ ， $Ax = b$ 是相容的；
（j）如果 $Ax = b$ 是相容的，那么解是唯一的；
（k）对每个 $b \in \mathbb{F}^n$ ， $Ax = b$ 是唯一解；
（1） $A x = 0$ 的唯一解是 $x = 0$

(m) 0 不是 $A$ 的特征值（见第1章）.

$M_{n}(\mathbf{F})$ 中的非奇异矩阵构成一个群，称为一般线性群，常记作 $GL(n,\mathbf{F})$