0.4秩

矩阵 $A \in M_{n,n}(\mathbf{F})$ 的秩是一个与它相关联的非负整数，记作 $\operatorname{rank} A$ 。

0.4.1 定义 如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，那么， $\operatorname{rank} A$ 是 $A$ 的列向量组中极大线性无关组的向量个数，这个列向量组当然不是唯一的，但这个集合的基数（元素个数）是唯一的。值得注意的是， $\operatorname{rank} A^{\mathrm{I}} = \operatorname{rank} A$ 。因此，等价地，秩可以用线性无关行来定义。这通常简述为“行秩 $=$ 列秩”。
0.4.2 秩与线性方程组 线性方程组 $A x - b(0,3,4)$ 可能有 0 个、1 个或无限多个解，但这些只是可能性。如果方程组至少有一个解，我们就称它是相容的。线性方程组是相容的，当且仅当 $\operatorname{rank}[Ab] = \operatorname{rank} A \cdot m \times (n + 1)$ 矩阵 $[Ab]$ 称为增广矩阵，并且，说增广矩阵与系数矩阵 $A$ 有相同的秩就是说 $b$ 是 $A$ 的各列的线性组合。这时，把 $b$ 添加到 $A$ 的列中不会增加秩。线性方程组 $Ax = b$ 的一个解是这样一个向量 $x$ ，使得 $b$ 是以其分量为系数的， $A$ 的各列的线性组合。
0.4.3 RREF 和秩 初等变换不改变矩阵的秩。因而， $A$ 的秩与 $A$ 的RREF的秩相同，它恰好是RREF中非零行的个数。用RREF计算秩受病态的影响：在中间的数值计算中，舍入误差可能使RREF的零行出现非零元，因而影响秩的识别。
0.4.4秩的特征以下关于某个矩阵 $A\in M_{m\times n}(\mathbf{F})$ 的各个命题都是相互等价的；每个命题可能在不同的上下文中用到.

(a) rank $A = k$ ;
(b) $A$ 有 $k$ 行组成的一个线性无关组，而多于 $k$ 行就线性相关；
(c) $A$ 有 $\pmb{k}$ 列组成的一个线性无关组，而多于 $\pmb{k}$ 列就线性相关；
(d) $A$ 有一个其行列式不为零的 $k \times k$ 子矩阵，但 $A$ 的所有 $(k+1) \times (k+1)$ 子矩阵的行列式为 0；
（c） $A$ 的值域的维数是 $\pmb{k}$

(f) 有 $k$ 个但又不多于 $k$ 个线性无关向量 $\vec{b}$ 组成的集合，使线性方程组 $Ax = b$ 是相容的；

$(g) k = n (A$ 的零空间的维数).

0.4.5 关于秩的不等式 涉及秩的不等式有以下几个.

(a) 对于 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ , $\operatorname{rank} A \leqslant \min \{m, n\}$ .
(b) 从一个矩阵中划去若干行和(或)列后，所得到子矩阵的秩不大于原矩阵的秩。
(c) 如果 $A \in M_{n,k}(\mathbf{F})$ ， $B \in M_{k,n}(\mathbf{F})$ ，那么（rank $A + \operatorname{rank} B$ ) - $k \leqslant \operatorname{rank} AB \leqslant \min \{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\}$ .
(d) 如果 $A, B \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，那么 $\operatorname{rank}(A + B) \leqslant \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B$ 。稍微复杂一点的是

Frobenius 的一个不等式.

(c) 如果 $A \in M_{m,k}(\mathbf{F})$ ， $B \in M_{k,p}(\mathbf{F})$ ， $C \in M_{p,n}(\mathbf{F})$ ，那么

由此可推出另一些不等式.

0.4.6 关于秩的等式

(a) 如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{C})$ ，那么 $\operatorname{rank} A^* = \operatorname{rank} A^1 = \operatorname{rank} \ddot{A} = \operatorname{rank} A$ .
(b) 如果 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 和 $C \in M_{n}(\mathbf{F})$ 是非奇异的，且 $B \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ 。那么 $\operatorname{rank} AB = \operatorname{rank} B = \operatorname{rank} BC = \operatorname{rank} ABC$ ；即左乘或右乘以一个非奇异矩阵，其秩不变。
(c) 如果 $A, B \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ，那么， $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B$ ，当且仅当存在非奇异矩阵 $X \in M_m(\mathbf{F})$ 和 $Y \in M_n(\mathbf{F})$ ，使得 $B = XAY$ .
(d) 如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{C})$ ，那么 $\operatorname{rank} A^* A = \operatorname{rank} A$ .
（c）如果 $A \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ 有秩 $k$ ，那么

其中 $X \in M_{m,n}(\mathbf{F})$ ， $Y \in M_{k,n}(\mathbf{F})$ 和 $B \in M_k(\mathbf{F})$ 是非奇异的。特别地，秩为1的矩阵 $A$ 总可以写成形式 $A = xy^{\dagger}$ ，其中 $x \in \mathbb{F}^{n}$ ， $y \in \mathbb{F}^{n}$ 是某两个向量。