0.2_数值线性代数

0.2 数值线性代数

If any other mathematical topic is as fundamental to the mathematical sciences as calculus and differential equations, it is numerical linear algebra.

Trefethen & Bau III [125], 1997.

  • 数值代数, 包含数值线性代数和数值非线性代数, 是计算数学的基础 [147].

  • 数值线性代数, 也称矩阵计算, 基本问题:

  • 线性方程组求解

Ax=bAx = b ， A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n} 非奇异

  • 线性最小二乘问题

min⁡x∈Rn∥Ax−b∥2,A∈Rm×n.\min _ {x \in \mathbb {R} ^ {n}} \| A x - b \| _ {2}, \quad A \in \mathbb {R} ^ {m \times n}.

  • 矩阵特征值问题

Ax=λx,A∈Rn×n,λ∈C,x∈Cn,x≠0.A x = \lambda x, \quad A \in \mathbb {R} ^ {n \times n}, \lambda \in \mathbb {C}, x \in \mathbb {C} ^ {n}, x \neq 0.

  • 矩阵奇异值问题

A⊤Ax=σ2x,A∈Rm×n,σ≥0,x∈Rn,x≠0.A ^ {\top} A x = \sigma^ {2} x, \quad A \in \mathbb {R} ^ {m \times n}, \sigma \geq 0, x \in \mathbb {R} ^ {n}, x \neq 0.

  • 其它问题: 广义特征值问题, 二次特征值问题, 非线性特征值问题, 矩阵方程, 特征值反问题, 张量计算, 随机数值线性代数, 等等.

  • 矩阵计算常用方法 (技术, 技巧或工具)

  • 矩阵分解: LU 分解, Cholesky 分解, QR 分解, Schur 分解, SVD 分解等

  • 矩阵分裂：定常迭代法，预处理子构造等

  • 矩阵降维: 子空间迭代法

问题的特殊结构对算法的设计具有非常重要的影响.
A 动手编写程序对理解和掌握算法非常有帮助.
在实际应用中, 要充分利用现有的优秀程序库.

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