0.1 计算数学介绍

1947年，Von Neumann和Goldstine在Bulletin of the AMS(美国数学会通报)上发表了题为“Numerical inverting of matrices of high order”(高阶矩阵的数值求逆)的著名论文[130],开启了现代计算数学的研究.半个多世纪以来,伴随着计算机技术的不断进步,计算数学得到了蓬勃发展,并逐渐成为了一个独立和重要的学科.

通俗地讲, 科学计算就是通过数学建模将实际问题转化为数学问题, 然后对数学问题进行离散和数值求解, 从而得到原问题的近似解, 同时对得到的近似解进行误差估计, 以确保近似解的可靠性. 科学计算利用先进的计算能力认识和解决复杂的科学工程问题, 它融建模、算法、软件研制和计算模拟为一体, 是计算机实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具. 计算已不仅仅只是作为验证理论模型正确性的手段, 大量的事例表明它已成为重大科学发现的一种重要手段 [147]. 科学计算已经和理论研究与实验研究一起, 成为当今世界科学技术创新的主要方式 [143], 也是当前公认的从事现代科学研究的第三种方法.

高性能科学计算在国家安全和科技创新等方面的重要作用也日益受到世界各国的重视。欧美等国家已投入巨资，大力发展先进的计算方法，研制大型的实用软件。2005年6月，美国总统信息技术咨询委员会(President's Information Technology Advisory Committee)在给美国总统提交的报告《计算科学：确保美国竞争力》(Computational Science: Ensuring America's Competitiveness)中明确阐述了计算科学的重要性。报告认为，虽然计算本身也是一门学科，但是其有促进其他学科发展的作

用, 21 世纪科学上最重要的、经济上最有前途的前沿研究都有可能通过先进的计算技术和计算科学而得到解决. 报告还认为, 在迅猛发展的高性能计算技术推动下, 计算科学将是 21 世纪确保国家核心竞争能力的战略技术之一, 而科学计算则是计算科学中最主要的内容.

科学计算的核心是计算数学[147]. 计算数学, 也称数值分析或计算方法, 主要研究各种数学问题的有效数值计算方法及其相关的数学理论, 包括算法的设计与分析 (收敛性, 稳定性, 复杂性等). 其研究内容有数值代数 (线性和非线性), 数值逼近 (插值, 函数逼近和数据拟合), 数值积分与数值微分, 微分方程数值解 (常微分方程, 偏微分方程), 最优化理论与方法等.

有关计算数学和数值线性代数的定义可以参考Golub教授的History of numerical linear algebra:A personal view [52],或Trefethen教授的Numerical analysis [126].

计算数学的主要任务

• 算法设计: 构造求解各种数学问题的高效数值方法.

• 算法分析: 研究数值方法的收敛性、稳定性、复杂性、计算精度等.

• 算法实现: 编程实现、软件开发.

一个好的数值方法一般需满足以下几点：

• 有可靠的理论分析, 即收敛性稳定性等有数学理论保证.

• 有良好的计算复杂性 (时间和空间).

• 易于在计算机上编程实现

• 要有具体的数值试验来证明算法是行之有效的

关于术语“数值方法”或“数值算法”，一般情况下我们将不加区分地使用.
数值方法一般都是近似方法, 求出的解是有误差的, 因此误差分析也很重要.