3.6_广义逆与最小二乘

3.6 广义逆与最小二乘*

满秩的正方矩阵存在逆, 一个很自然的问题就是, 对于不满秩的矩阵或者非正方矩阵, 是不是可以定义类似的逆?

3.6.1 广义逆

广义逆的概念最早由Moore[95]于1920年提出, 他给出的定义如下: 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 若 X∈Cn×mX \in \mathbb{C}^{n \times m} 满足

AX=PRan⁡(A),XA=PRan⁡(X),(3.24)A X = P _ {\operatorname {R a n} (A)}, \quad X A = P _ {\operatorname {R a n} (X)}, \tag {3.24}

即 AXAX 和 XAXA 分别为 Ran⁡(A)\operatorname{Ran}(A) 和 Ran⁡(X)\operatorname{Ran}(X) 上的正交投影算子, 则称 XX 是 AA 的广义逆.

1955年，Penrose[104]利用下面四个矩阵方程给出了广义逆的另一个定义，这也是当前常用的广义逆定义方式.

定义3.2 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 若 X∈Cn×mX \in \mathbb{C}^{n \times m} 满足

AXA=A(3.25)A X A = A \tag {3.25}
XAX=X(3.26)X A X = X \tag {3.26}
(AX)∗=AX(3.27)(A X) ^ {*} = A X \tag {3.27}
(XA)∗=XA.(3.28)(X A) ^ {*} = X A. \tag {3.28}

则称 XX 为 AA 的广义逆，记为 A†A^{\dagger}

方程组 (3.23) 和 (3.24)-(3.27) 分别称为 Moore 方程组和 Penrose 方程组. 可以证明, 以上两种定义是等价的, 因此广义逆也称为 Moore-Penrose 逆, 简称 MP 逆.

(1) 需要指出的是, 广义逆对所有矩阵都有定义, 并不要求是正方矩阵.

(2) 若 A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} 非奇异, 则 A†=A−1A^{\dagger} = A^{-1} .
(3) 在有的文献中,广义逆也称为伪逆.

定理3.25 [149]设 A∈Cm×nA\in \mathbb{C}^{m\times n} ，则满足矩阵方程组(3.24)-(3.27)的矩阵 X∈Cn×mX\in \mathbb{C}^{n\times m} 存在且唯一.

(板书)

证明. 存在性: 可以通过SVD构造

设 rank⁡(A)=r>0\operatorname{rank}(A) = r > 0 ，且 AA 的SVD为

A=U[Σ1000]V∗,Σ1=diag(σ1,σ2,…,σr)∈Rr×r.A = U \left[ \begin{array}{c c} \Sigma_ {1} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] V ^ {*}, \quad \Sigma_ {1} = \mathrm {d i a g} (\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \ldots , \sigma_ {r}) \in \mathbb {R} ^ {r \times r}.

令

X=V[Σ1−1000]U∗.X = V \left[ \begin{array}{c c} \Sigma_ {1} ^ {- 1} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] U ^ {*}.

容易验证, XX 满足矩阵方程(3.24)-(3.27).

唯一性: 假设存在 XX 和 YY 都满足矩阵方程 (3.24)-(3.27). 则

X=XAX=X(AX)∗=XX∗A∗=XX∗(AYA)∗=X(AX)∗(AY)∗=(XAX)(AY)=XAY.X = X A X = X (A X) ^ {*} = X X ^ {*} A ^ {*} = X X ^ {*} (A Y A) ^ {*} = X (A X) ^ {*} (A Y) ^ {*} = (X A X) (A Y) = X A Y.

另一方面，

Y=YAY=(YA)∗Y=A∗Y∗Y=(AXA)∗Y∗Y=(XA)∗(YA)∗Y=XAYAY=XAY.Y = Y A Y = (Y A) ^ {*} Y = A ^ {*} Y ^ {*} Y = (A X A) ^ {*} Y ^ {*} Y = (X A) ^ {*} (Y A) ^ {*} Y = X A Y A Y = X A Y.

所以 Y=XY = X

3.6.2 广义逆基本性质

定理3.26 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 则

(1) (A†)†=A(A^{\dagger})^{\dagger} = A
(2) (AT)†=(A†)T,(A∗)†=(A†)∗;(A^{\mathsf{T}})^{\dagger} = (A^{\dagger})^{\mathsf{T}},(A^{*})^{\dagger} = (A^{\dagger})^{*};
(3) rank⁡(A)=rank⁡(A†)=rank⁡(A†A)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\dagger) = \operatorname{rank}(A^\dagger A) ;
(4) (AA∗)†=(A∗)†A†(AA^{*})^{\dagger} = (A^{*})^{\dagger}A^{\dagger} , (A∗A)†=A†(A∗)†(A^{*}A)^{\dagger} = A^{\dagger}(A^{*})^{\dagger} ;
(5) (AA∗)†AA∗=AA†(AA^{*})^{\dagger}AA^{*} = AA^{\dagger} , (A∗A)†A∗A=A†A(A^{*}A)^{\dagger}A^{*}A = A^{\dagger}A ;
(6) A†=(A∗A)†A∗=A∗(AA∗)†A^{\dagger} = (A^{*}A)^{\dagger}A^{*} = A^{*}(AA^{*})^{\dagger}

特别地, 若 AA 列满秩, 则 A†=(A∗A)−1A∗A^{\dagger} = (A^{*}A)^{-1}A^{*} , 若 AA 行满秩, 则 A†=A∗(AA∗)−1A^{\dagger} = A^{*}(AA^{*})^{-1} ;

(7) 若 U,VU, V 是酉矩阵, 则 (UAV)†=V∗A†U∗(UAV)^{\dagger} = V^{*}A^{\dagger}U^{*} .

一般来说, 当 A,BA, B 是方阵时,

  • (AB)†≠B†A†(AB)^{\dagger} \neq B^{\dagger}A^{\dagger} ;
    AA†≠A†A;AA^{\dagger}\neq A^{\dagger}A;
    (Ak)†≠(A†)k(A^k)^\dagger \neq (A^\dagger)^k

  • AA 和 A†A^{\dagger} 的非零特征值并不是互为倒数

定理3.27 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 则

Ran⁡(AA†)=Ran⁡(AA∗)=Ran⁡(A),Ran⁡(A†A)=Ran⁡(A∗A)=Ran⁡(A∗)=Ran⁡(A†),Ker⁡(AA†)=Ker⁡(AA∗)=Ker⁡(A∗)=Ker⁡(A†),Ker⁡(A†A)=Ker⁡(A∗A)=Ker⁡(A).\begin{array}{l} \operatorname {R a n} \left(A A ^ {\dagger}\right) = \operatorname {R a n} \left(A A ^ {*}\right) = \operatorname {R a n} (A), \\ \operatorname {R a n} \left(A ^ {\dagger} A\right) = \operatorname {R a n} \left(A ^ {*} A\right) = \operatorname {R a n} \left(A ^ {*}\right) = \operatorname {R a n} \left(A ^ {\dagger}\right), \\ \operatorname {K e r} \left(A A ^ {\dagger}\right) = \operatorname {K e r} \left(A A ^ {*}\right) = \operatorname {K e r} \left(A ^ {*}\right) = \operatorname {K e r} \left(A ^ {\dagger}\right), \\ \operatorname {K e r} \left(A ^ {\dagger} A\right) = \operatorname {K e r} \left(A ^ {*} A\right) = \operatorname {K e r} (A). \\ \end{array}

推论3.28（广义逆与正交投影）设 A∈Cm×nA\in \mathbb{C}^{m\times n} ，则

PA=AA†,PA⊺=A†A,P _ {A} = A A ^ {\dagger}, \quad P _ {A ^ {\intercal}} = A ^ {\dagger} A,

其中 PAP_A 和 PA⊺P_{A^{\intercal}} 分别表示 Ran⁡(A)\operatorname{Ran}(A) 和 Ran⁡(AT)\operatorname{Ran}(A^{\mathsf{T}}) 上的正交投影变换.

特别地, 如果 A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} 是正交投影, 则

A†=A.A ^ {\dagger} = A.

3.6.3 广义逆的计算

利用SVD

我们可以利用 AA 的奇异值分解来计算 A†A^{\dagger} , 但运算量较大. 因为奇异值分解通常与 AA∗AA^{*} 或 A∗AA^{*}A 的特征值分解有关.

利用满秩分解

定理3.29 设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}

(1) 若 AA 是列满秩矩阵, 则 A†=(A∗A)−1A∗A^{\dagger} = (A^{*}A)^{-1}A^{*} ;
(2) 若 AA 是行满秩矩阵, 则 A†=A∗(AA∗)−1A^{\dagger} = A^{*}(AA^{*})^{-1} ;
(3) 若 AA 的秩是 r≤min⁡{m,n}r \leq \min \{m, n\} , 且其满秩分解为 A=FGA = FG , 其中 F∈Rm×r,G∈Rr×nF \in \mathbb{R}^{m \times r}, G \in \mathbb{R}^{r \times n} , 则

A†=G†F†=G∗(GG∗)−1(F∗F)−1F∗.A ^ {\dagger} = G ^ {\dagger} F ^ {\dagger} = G ^ {*} \left(G G ^ {*}\right) ^ {- 1} \left(F ^ {*} F\right) ^ {- 1} F ^ {*}.

利用QR分解

定理3.30 设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} ( m≥nm \geq n ) 是列满秩矩阵, 其 QRQR 分解为 A=QRA = QR , 其中 Q∈Rm×nQ \in \mathbb{R}^{m \times n} , R∈Rn×nR \in \mathbb{R}^{n \times n} , 则

A†=R−1Q∗.A ^ {\dagger} = R ^ {- 1} Q ^ {*}.

其他算法

其他比较重要的算法有: Greville 递推算法, Cline 算法等.

3.6.4 广义逆与线性最小二乘

定理3.31 [149, page 85] 设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} ( m≥nm \geq n ), 则线性最小二乘问题 (3.1) 的解为

x=A†b+(I−PRan⁡(A⊺))z,∀z∈Rn.(3.29)x = A ^ {\dagger} b + \left(I - P _ {\operatorname {R a n} \left(A ^ {\intercal}\right)}\right) z, \quad \forall z \in \mathbb {R} ^ {n}. \tag {3.29}

通常, 线性最小二乘问题的解 (3.28) 不唯一. 但当 AA 列满秩时, PRan(A⊤)=IP_{\mathrm{Ran}(A^{\top})} = I , 此时解唯一.

定理3.32 [149, page 85] 设 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} ( m≥nm \geq n ). 记线性最小二乘问题 (3.1) 的解集为 SS , 则

min⁡x∈S∥x∥2(3.30)\min _ {x \in S} \| x \| _ {2} \tag {3.30}

存在唯一解, 即线性最小二乘问题 (3.1) 存在唯一的最小范数解.

3.6.5 左逆和右逆

在工程计算中, 有时也会用到矩阵的左逆和右逆

定义3.3 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 如果存在矩阵 Aleft−1∈Cn×mA_{\text{left}}^{-1} \in \mathbb{C}^{n \times m} 使得 Aleft−1A=InA_{\text{left}}^{-1} A = I_n , 则称 Aleft−1A_{\text{left}}^{-1} 是 AA 的左逆类似地, 如果存在矩阵 Aright−1∈Cn×mA_{\text{right}}^{-1} \in \mathbb{C}^{n \times m} 使得 AAright−1=ImA A_{\text{right}}^{-1} = I_m , 则称 Aright−1A_{\text{right}}^{-1} 是 AA 的右逆.

定理3.33 设 A∈Cm×nA \in \mathbb{C}^{m \times n} , 则 AA 存在左逆的充要条件是 AA 列满秩; AA 存在右逆的充要条件是 AA 行满秩.

易知, 左逆和右逆一般是不唯一的. 比如

A=[100100],则Aleft−1=[10x01y],其 中x,y可 以 取 任 意 值.A = \left[ \begin{array}{l l} {1} & {0} \\ {0} & {1} \\ {0} & {0} \end{array} \right], \quad \text {则} \quad A _ {\mathrm {l e f t}} ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{l l l} {1} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {y} \end{array} \right], \quad \text {其 中} x, y \text {可 以 取 任 意 值}.
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