11._矩阵相似对角化_λ_求法

矩阵相似对角化求法

本节目的是给出一个矩阵要求出与他相似的对角形矩阵。

例 设矩阵

问 $A$ 能否对角化？若能，则求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使 $P^{-1} A P=\Lambda$

解 先求 $A$ 的特征值．

所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2$ ． 再求 $A$ 的特征向量．

①当 $\lambda_1=-1$ 时，解方程 $(A+E) x=0$ ．由

得对应的特征向量

②当 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 时，解方程 $( A -2 E ) x = 0$ ．由

得对应的线性无关特征向量

由定理知 $p _1, p _2, p _3$ , 所以可以对角化。 在本题里，求的三个特征值

对应的特征向量分别是

我们可以由多种排法，得到其对角形和矩阵。

排法1 使用 $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ 和 $P=(p_1,p_2,p_3)$

则

对应的 $\Lambda$ 为

排法2 使用 $(\lambda_2,\lambda_3,\lambda_1)$ 和 $P=(p_2,p_3,p_1)$

则

对应的 $\Lambda$ 为

通过本题要牢记：特征值和特征向量的位置要对应放置

例题

例问下列矩阵哪个可以对角化：

解 对于 $A$ ，求其特征值与特征向量

令 $| A -\lambda I |=0$ ．故 $A$ 有特征值：$\lambda_1=\lambda_2=-2, \lambda_3=4$ ．对于二重根 $\lambda_1=-2$ ．求其特征向量： 由 $( A -\lambda I ) X =0$ 得

或

只有一个线性无关的特征向量： $X =(1,1,0)^{ T }$ ． 因此对于 $\lambda_1=-2$ ，其几何重数 $m_1$ 小于代数重数 $n_1$ 。因此 $A$ 不可对角化对于矩阵 $B$ ．同样求其特征值与特征向量：

对 $\lambda=-2$ ．线性齐次方程组：$\left( B -\lambda_1 I\right) X = 0$ ：

解之，有两个线性无关的特征向量：

对于 $\lambda_3=4$ ，有线性齐次方程组 $\left( B -\lambda_3 I \right) X =0$

解之，得

因此 B 有三个线性无关的特征向量，因此 B 可对角化。记

例 求矩阵

的特征值与特征向量，并判断他能否对角化

解： $A$ 的特征多项式为

所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=1$ ． ①当 $\lambda_1=2$ 时，解方程 $( A -2 E ) x = 0$ ．由

得基础解系

所以 $k p _1(k \neq 0)$ 是对应于 $\lambda_1=2$ 的全部特征向量．

②当 $\lambda_2=\lambda_3=1$ 时，解方程 $( A - E ) x = 0$ ．由

得基础解系

所以 $k p_2(k \neq 0)$ 是对应于 $\lambda_2=\lambda_3=1$ 的全部特征向量．

从这里可以看到，确实找不到3个线性无关的特征向量，因此不能对角化。

例 设

问 $t$ 为何值时，矩阵 $A$ 能对角化？ 解 $|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & t \\ 1 & 0 & -\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rr}-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)$ ，得 $\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=1$ ．

当单根 $\lambda_1=-1$ 时，可求得线性无关的特征向量恰有 1 个，故矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是对应重根 $\lambda_2=\lambda_3=1$ ，有 2 个线性无关的特征向量，即方程 $(A-E) x=0$ 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 $A - E$ 的秩 $R( A - E )=1$ 。由

要 $R(A-E)=1$ ，得 $t+1=0$ ，即 $t=-1$ ． 因此，当 $t=-1$ 时，矩阵 $A$ 能对角化．

例设 $A =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 与 $y$ 应满足的条件. 解：因为矩阵 $A$ 是 3 阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 $A$ 可以相似对角化. 由

得到 $\bar{A}$ 的特征值为 $\bar{\lambda}_1=\bar{\lambda}_2=1, \lambda_3=-1$ 。

对应单根 $\lambda_3=-1$ ，可求得线性无关的特征向量恰好有 1 个，故对应重根 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 应有 2 个线性无关的特征向量，即方程 $( A - E ) x =0$ 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 $A - E$的秩 $R( A - E )=1$ 。

可知，要使系数矩阵 $A - E$ 的秩 $R( A - E )=1$ ，必须 $x+y=0$ 。