10._非齐次方程解的性质

非齐次方程解的性质

性质1 设 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，则 $\xi-\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的解. 证明 因为 $\xi, \eta$ 是 $A x=\beta$ 的任意两个解，即： $A \xi=\beta ， A \eta=\beta$ ，所以

即： $\alpha-\beta$ 是导出组 $A x=0$ 的解.

性质2 设 $\xi$ 是 $A x=\beta$ 的任意解， $\eta$ 是导出组 $A x=0$ 的任意解，则 $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解. 证明 由题设可知， $A \xi=\beta ， A \eta=0$. 于是，

即: $\xi+\eta$ 是 $A x=\beta$ 的解.

定理：若非齐次线性方程组满足 $r( A )=r( A , \beta )=$ $r, \eta _1, \eta _2, \cdots, \eta _{n-r}$ 是对应的齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系， $\gamma_0$ 是 $A x=\beta$ 的某个解，则

给出了 $A x = \beta$ 的所有解，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 是任意常数． 证明：略

延伸阅读

关于向量组线性相关、线性无关的理解我们知道，向量组线性相关意味着其中至少一个向量能由其余向量线性表示，因此通过向量的线性运算可以把被表示的这个向量变为零向量；如果把它们的分量当作未知数前的系数构成齐次线性方程组，从解方程组的角度看相当于消掉了至少一个无用的方程（可称为假的限制条件），从而对未知量的限制条件减少．当假的限制条件都去掉了，留下的是真正有用的方程（真限制条件），真限制条件的个数就是向量组的秩。真限制条件的个数若少于未知量个数，意味着部分未知量可自由活动，所以向量组对应的齐次线性方程组有无穷多解（非零解）。线性无关的向量组对应的齐次线性方程组意味着真限制条件的个数等于未知量的个数，所以未知量不能自由活动了，这时的齐次线性方程组有唯一的一组解，而零解一定是它的解，所以未知量只能等于零．

从向量组中寻找它的极大无关组可以理解为寻找有存在价值的向量，去掉没有价值的向量（被别的向量表示的向量），留下彼此可以独立活动的向量（无关向量，彼此之间不能被表示的向量）！