5._三元齐次线性方程组

三元齐次线性方程组

为了引入$n$元齐次线性方程组的解，这里先用三元进行解释

上一节讨论了方程组解的几何意义. 但是, 是否存在一种方法用来判断三元线性方程组是否有解? 如果有解, 那么有多少解? 既然三元线性方程可以用来表示空间的平面, 那么作出判断的几何直观是什么呢? 这些就是我们将要陆续学习的内容.

定义1 在一个线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中, 如果 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$, 那么称这个线性方程组为齐次线性方程组; 如果 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$, 那么称这个线性方程组为非齐次线性方程组. 对于一个三元齐次线性方程组

显然 $x_1=x_2=x_3=0$ 是方程组的一个解, 这个解称为零解 (null solution); 若方程组还有其他的解, 那么这些解就称为非零解 (untrivial solution). 三元齐次线性方程组可以写成矩阵形式:

其中系数矩阵和未知向量分别为

对于齐次线性方程组, 我们关心的问题是有没有非零解.

例解下列齐次线性方程组: (1) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+x_3=0, \\ x_2+x_3=0, \\ x_1+3 x_2+2 x_3=0\end{array}\right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2+x_3=0, \\ x_1-x_2=0, \\ x_1-2 x_2+2 x_3=0 .\end{array}\right.$

解: (1) 在齐次线性方程组中常数项都为 0 , 因此求解过程中, 只需要对这个线性方程组的系数矩阵进行行初等变换.

因此,

容易发现, 对 $x_2$ 的任意一个值, 可以确定这个齐次线性方程组的一个解. 我们把 $x_2$称为自由未知量, 令 $x_2=k(k \in \mathbf{R})$, 得到 $\boldsymbol{x}=(-k, k,-k)^{\mathrm{T}}$, 因此这个线性方程组有无穷多个解.

(2) 对系数矩阵作行初等变换.

因此, 这个齐次线性方程组的解只有一个解，为 $\boldsymbol{x}=(0,0,0)^{\mathrm{T}}$.

由于齐次线性线性方程组一定有零解, 从例 1 可以发现, 齐次线性方程组可能有无穷多个解, 也可能有唯一解. 因此, 我们可以猜想, 三元齐次线性方程组只有唯一解和无穷多个解两种情形.

因为线性方程组与经过行初等变换得到的阶梯形方程组同解, 所以可以直接讨论阶梯形方程组的解的情况及其判别准则.

情形1 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组

从下往上带，可以求出三元齐次线性方程组只有零解: $x_1=0, x_2=0, x_3=0$.

情形2 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组

显然 $x_1=0, x_2=0, x_3=0$ 是三元齐次线性方程组的一个解. 但对每一个 $x_3$ 的值 $k_3$, 都能找到 $x_1=k_1, x_2=k_2$ 满足方程组. 根据选取的 $k_3$ 的任意性可知, 三元齐次线性方程组有无穷多个解, 并把 $x_3$ 称为自由未知量.

情形3 如果三元齐次线性方程组能化为阶梯形方程组、

同理, 可选取 $x_2, x_3$ 作为自由未知量, 令 $x_2=k_1, x_3=k_2\left(k_1 \in \mathbf{R}, k_2 \in \mathbf{R}\right)$, 则可得到对应的 $x_1$ 的值. 根据选取的 $k_1, k_2$ 的任意性可知, 三元齐次线性方程组有无穷多个解.

综上所述, 可以得到如下定理:

定理 1 任何一个齐次线性方程组都有零解. 如果一个齐次线性方程组有非零解, 那么它就有无穷多个解.

如果一个齐次线性方程组有无穷多个解, 那么这个方程组的系数之间存在什么关系呢? 是否可以构建一个表示所有解的表达式呢? 为了回答这些问题, 就需引入了向量组线性相关的概念.

线性相关与线性无关

定义2 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是一个 $n$ 维向量组, $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 是一组常数, 称向量

为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的一个线性组合，其中 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 为线性组合的系数. 若向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以表示为 $\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s$, 则称向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示.

定义3 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是一组 $n$ 维向量, 如果存在一组不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ 使得

则称 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关 (linearly dependent); 若一个向量组不是线性相关的, 则称它线性无关 (linearly independent).

换言之，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，当且仅当 $k_1=0, k_2=0, \cdots, k_s=0$ 时, （1）式成立. 下面, 讨论三元齐次线性方程组解的结构. 设三元齐次线性方程组为

令 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(a_{11}, a_{21}, a_{31}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=\left(a_{12}, a_{22}, a_{32}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=\left(a_{13}, a_{23}, a_{33}\right)^{\mathrm{T}}$, 则齐次线性方程组可以用向量的形式表示为 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+x_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$.

因为 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2\right)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_2$ 和 $\boldsymbol{A}(k \boldsymbol{\xi})=k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}$, 所以齐次线性方程组的解有下面的性质.

性质1 若两个向量 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 则 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2$ 也是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解.

性质2 若向量 $\boldsymbol{\xi}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, $k$ 为任意常数, 则 $k \boldsymbol{\xi}$ 也是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$的解.

定义3 如果齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一组解向量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 满足 (1) $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 线性无关, (2)方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的任一解都可由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$ 线性表示,那么称这组解向量 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_{\mathrm{s}}$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系.

进而, 把 $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{x}_1+k_2 \boldsymbol{x}_2+\cdots+k_{\mathrm{s}} \boldsymbol{x}_s\left(k_1, k_2, \cdots, k_s\right.$ 为任意常数) 称为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$的通解 (general solution).

例判断下列三元齐次线性方程组是否有非零解, 如有非零解, 求出通解.

解: 对这个线性方程组的系数矩阵作行初等变换, 将其化成阶梯形矩阵, 得到

因此, 可以判断这个齐次线性方程组有无穷多个解, 取 $x_1$ 和 $x_2$ 为自由未知量.

令 $x_1=1, x_2=0$, 则 $x_3=-1$, 记 $\xi_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$;

令 $x_1=0, x_2=1$, 则 $x_3=2$,记 $\xi_2=(0,1,2)^{\mathrm{T}}$.

这样, 当 $k_1 \xi_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2=\mathbf{0}$ 时, 即

得 $k_1=0, k_2=0$. 由定义 3 知 $\xi_1, \xi_2$ 线性无关, 进而 $\xi_1, \xi_2$ 是这个方程组的基础解系,所以这个方程组的通解为

前面我们讨论过线性方程组经过初等变换得到的阶梯形方程组的解的三种情形. 在情形 1 中, 阶梯形方程组的系数行列式不为 0 ; 在情形 2 和情形 3 中, 阶梯形方程组的系数行列式为 0 . 由上一章的结论知道, 初等变换不改变行列式的非零性质, 也就是说, 线性方程组系数矩阵的行列式是否为 0 与化为阶梯形方程组的系数矩阵的行列式是否为 0 是一致的. 因此, 可以得到判断三元齐次线性方程组的解的个数的等价定理.

解的定理 三元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是它的系数行列式不等于 0 .三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于 0 .

例如

他的系数成比例，所以系数行列式为0，因此有非零解。

例运用行列式的值判断例 1 中两个线性方程组的解的情形. 解:（1） $\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|=0$,

因此例 1 （1）中的齐次线性方程组有无穷多个解. (2) $\left|\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=1 \neq 0$,

因此例 1 （2）中的齐次线性方程组有唯一解.

n元线性方程组

把上面的结论推广到n元情形，就是n元齐次方程组的解。具体会在下一节介绍。

四元几何意义

我们知道 $y=ax+b$ 表示平面上一条直线， $z=a_1 x +a_2 y$ 表示空间里的一个平面，由此推广

①1 个四元线性方程 $a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1$, 表示四维空间里的一个三维空间体;

②2 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个二维平面;

③3 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3\end{array}\right.$, 表示四维空间里的一个一维直线;

④4 个四元线性方程 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3+a_{14} x_4=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3+a_{24} x_4=b_2 \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3+a_{34} x_4=b_3 \\ a_{41} x_1+a_{42} x_2+a_{43} x_3+a_{44} x_4=b_4\end{array}\right.$ 表示四维空间里的一个零维点。

可以看出, 方程组解的几何图形的维数和方程组里方程的个数有关系。解的维数加上方程数等于空间的维数 (事实上, 方程组的个数就是系数矩阵的秩)。