9._施密特正交化过程

向量减法

在理解施密特正交化之前，还是回顾一下向量减法。在高中介绍过向量的三角形法则， $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(\vec{-b})$, 表示如下，也就是向量减法里，向量的起点是$B$,终点是$A$, 即由$B$指向$A$, 详见 向量加减

{width=200px} 记住这个结论，稍后将会用到。

重要 在学习本文前务必理解了本章前面已经介绍的向量投影

施密特正交化简单解释

假设有两个线性无关的向量 $a$ 和 $b$, 现在标准正交化这两个向量，让它们变成互相垂直的 $q_1$ 和 $q_2$ 。 所谓向量正交化就是找到一组垂直的向量 $q_1$ 和 $q_2$，使得他们可以很容易的表示出$a$和$b$.

在理解正交化之前，我们举一个小例子：假设你是老师，要寻找班级里身高最高的学生，你会怎么做？你会让学生排成一排，然后从第一个学生开始，你默认他是班级里最高的，然后用第二个学生和第一个学生比较，如果第二个比第一个高，则交换他们的位置，否则，保持位置不变。 然后用第三个人还和“第一个”人比较，如果第三个人比第一个人高，则交换他们的位置，否则，保持不变，以此类推，最终，“第一个”人就是班级里最高的。施密特正交化的思想和此类似，给你一组向量，要找到一组互相垂直的向量，那我随便选一个作为基准，后续向量和他垂直即可。

现在有两个向量$a,b$，首先保持 $a$ 不变让向量 $A=a$ ，接下来要寻找到另一个向量 $B$ ，使得 $A \perp B$ (参考下图) 。假设$B$已经找到，容易看到$p$ 是 $b$ 在 $a$ 上的投影， 根据上面介绍的向量的三角形减法法则，$B$ 就相当于$b-p$ 接下来的工作是看看$B$怎么用$a,b$来表示。

$p$ 相当于 $a$ 放缩了 $x$ 倍，在一维空间内， $x$ 是一个标量，可以表示为 (参考内积):

这相当于 $B$ 是 $b$ 减去 $b$ 在 $a$ 上的投影.

最后将 $A$ 变成指向 $A$ 方向的单位向量， $B$ 变成指向 $B$ 方向的单位向量：

这就是格拉姆-施密特正交化方法。

简单举例

假设有两个向量: $\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]$ 和 $\boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right]$

{width=350px}

仿照上面的步骤，看看怎么把他们正交化，我们必须时刻记着我们的目的是什么:找两个向量$A,B$，他们模长为1,且互相垂直。

所以，对于$A$直接使用$a$即可，即$A=\left[\begin{array}{c}5\\2\end{array} \right]$

可以看到，对于$A$还是非常好找的,直接令$A=a$即可。

接下来找$B$，我们先计算一下 $x=\dfrac{\boldsymbol{a^T b}}{\boldsymbol{a^T a}}$ 因为两个向量内积，为两个向量坐标分量直接乘积，所以，

所以$x=\dfrac{16}{29}$

所以 $p=x\boldsymbol{a}= \dfrac{16}{29} (5,2)= (\dfrac{80}{29},\dfrac{32}{29})$

因此$B=b-p=\left[\begin{array}{c}2\\3\end{array} \right] - \left[\begin{array}{c} \frac{80}{29}\\\frac{32}{29}\end{array} \right]= \left[\begin{array}{c} \frac{-22}{29}\\ \frac{55 }{29} \end{array} \right]$

这样，我们就找到了一组互相垂直的向量$A,B$,即

单位化

上面找到的A,B是互相垂直的向量，但是我们还要向量的模长为1，所以需要把$A,B$单位化(单位化见此处)。

$||A||=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$

$||B||= \dfrac{11 \sqrt{29}}{29}$ ,所以

这样 $q_1,q_2$ 就是我们找到的正交向量组。

施密特正交化定义

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 出发，找一组两两正交的单位向量， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r ，$ 使 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 等价， 这个过程称为把基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 规范正交化.

具体步骤如下: 第一步，将基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 正交化 (施密特 (Schmidt) 正交化过程) .

第二步，将 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\beta_1\right\|} \beta_1, \quad \xi_2=\frac{1}{\left\|\beta_2\right\|} \beta_2, \cdots, \xi_r=\frac{1}{\left\|\beta_r\right\|} \beta_r$ 于是， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_2$ 就是 $V$ 的一个规范正交基.

上面计算里，$\left[\beta_1, \alpha_2\right]$ 表示 向量$\beta_1, \alpha_2$的内积（见下面例题）$\left[\beta_1, \beta_1\right]$ 表示 $\beta_1$和自己的内积，即模长的平方。

记忆方法

施密特对角化看起来很复杂，但是有规律可循，假设给你四个向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 要用施密特正交化找到四个向量 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 可以参考下面视频：（视频来B站自宋浩《线性代数》教材）

例 设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\mathbf{R}^3$ 的一个基，求一个与 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 等价的规范正交基. 解 取

再将 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_1\right\|} \boldsymbol{\beta}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_2=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_2\right\|} \boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{\sqrt{14}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right), \xi_3=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{\beta}_3\right\|} \boldsymbol{\beta}_3=\frac{1}{\sqrt{42}}\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$, $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 即为所求.

在上面计算里，$\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right]= 1*0+1*4+(-1)*1=3$ (即坐标对应乘积之和)

$\left[\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1\right]= 1^2+1^2+1^2=3$ （即坐标平方之和）

上面是教材上常给的定义，但是很少进行解释。下面对上面进行几何解释。

如何理解施密特（Schmidt）正交化

为什么要使用施密特正交化法

在一个平面，或者三维空间中，任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系，因为在一个单位直角坐标系中，任意一个向量的坐标分量，通过简单的投影就可以搞定。

虽然我们喜欢用笛卡尔坐标系，但是其实任何模长为1切互相垂直的向量都可以坐标系。 因此，如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”，变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。

利用这个投影公式，我们便可以轻松理解施密特正交化法。如果您还未理解向量投影，请点击向量投影此处

我们首先需要理解一个向量 $\alpha_2$ 在另外一个向量 $\alpha_1$ 的投影公式。只要利用正交的定义，就很容易知道 $\alpha_2$ 在 $\alpha_1$ 的投影向量为

{width=450px}

二维空间施密特正交化

平面上任意两个不共线的向量都可以构成平面的一个坐标系(也就是一组基)，我们可以利用这两个向量之间的投影得到两个正交的向量:

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$

Step2: 做向量 $\alpha_2$ 在向量 $\beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $\alpha_2$ 做差得到

三维空间施密特正交化

对于一个三维欧空间来说, 我们看看如何利用施密特正交化法将这一组基正交化。

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$

Step2:做向量$\alpha_2$ 在向量 $\beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $\alpha_2$ 做差得到 $\beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \beta_1 \right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1:$

Step3: 分别做向量 $\alpha_3$ 在向量 $\beta_1, \beta_2$ 的投影 $\frac{\left(\beta_1, \alpha_3\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1, \frac{\left(\beta_2, \alpha_3\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2$ ，利用 $\alpha_3$ 减去两个投影的和得到

请仔细观察下图理解。

对于n维空间，和2维，3维类似。

下一节将给出具体例题，看过例题后，再来回顾本文介绍的内容。