6._向量间距离

向量间距离

在初中学习过绝对值，数轴上两个点的距离，可以用绝对值表示。 即两点的距离 $d=|x_2-x_1|$ 比如$A=1,B=-2$,则$|AB|=|1-(-2)|=3$ {width=300px} 同样，可以定义两个向量间的距离，但是通常称为距高。

$R ^n$ 中向量 $u$ 和 $v$ 的距高, 记作 $\operatorname{dist}(u, v)$, 表示向量 $u-v$ 的长度, 即

向量行距的几何意义

假设有两个向量$a,b$, 根据向量的平行四边形法则，$a+b$ 表示的是一条主对角线，而 $a-b$ 表示的是一条副对角线。 所以，两个向量的距离就是 幅对角线的长度。

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例题

例 计算向量 $u =(7,1)$ 和 $v =(3,2)$ 之间的距离。

解 先计算 $u - v =\left[\begin{array}{l}7 \\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}4 \\ -1\end{array}\right]$, 则有 $\| u - v \|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$.

例 如果 $u=\left(u_1, u_2, u_3\right)$ 和 $v=\left(v_1, v_2, v_3\right)$, 那么

例 $\alpha =[1,1,1]^{ T }, \beta =[3,2,3]^{ T }$ ，求 $\alpha , \beta$ 之间的距离、夹角以及与 $\alpha$ 同方向的单位向量．

解 $\| \alpha \|=\sqrt{( \alpha , \alpha )}=\sqrt{3},\| \beta \|=\sqrt{( \beta , \beta )}=\sqrt{22},( \alpha , \beta )=8, \alpha - \beta =\left[\begin{array}{l}-2 \\ -1 \\ -2\end{array}\right]$ ， 故

所以

令

显然，$\| \eta \|=1$ 且 $\eta$ 与 $\alpha$ 同方向．