23._矩阵的秩与方程的解

对于初学线性代数的人，遇到的第一个抽象的概念就是：矩阵的秩，矩阵的秩太重要了，后面很多结论都需要用它，本文介绍矩阵的秩的定义和意义。在阅读本节内容前，需要先了解阶梯形矩阵 ，要从向量空间理解矩阵的秩，请点击矩阵的秩(向量版)

矩阵的秩的引入

本文谈谈矩阵秩的概念，先看一个例题：解下列线性方程组的解，

{x1−2x2−x3+3x4=12x1−4x2+x3=5x1−2x2+2x3−3x4=4\left\{\begin{aligned} &x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\ &2 x_1-4 x_2+x_3 & =5 \\ &x_1-2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =4 \end{aligned} \right.

我们按高斯消元法，首先列出增广矩阵：

[1−2−1312−41051−22−34]\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 2 & -3 & 4 \end{array}\right]

现在把他化为阶梯形矩阵。 (i) 用第一行的-2倍加到第二行 (ii)用第一行的-1倍加到第三行

[1−2−131003−63003−63]\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -6 & 3 \end{array}\right]

继续化简， (i)用第二行的-1倍加到第三行 (ii)第二行乘以13\frac{1}{3} 得到如下阶梯形矩阵

图片{width=300px}

如果我们把上面矩阵系数再还原成方程，则是：

{x1−2x2−x3+3x4=10x1+0x2+x3−2x4=10x1+0x2+0x3+0x4=0\left\{\begin{aligned} &x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\ &0 x_1+0 x_2+x_3 -2x_4 & =1 \\ &0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4 & =0 \end{aligned} \right.

仔细观察上面第三个方程，可以发现，不论xx取什么值，这个式子都是成立的，换句话说，表面上看这个方程有3个方程，但是其实真正有效的只有2个方程，第三个方程是“滥竽充数”的。我们把这个“2”就叫做矩阵的秩。 在观察一下阶梯形矩阵，他的阶数也正好是2.

因此，如何求矩阵的秩？我们要牢记下面一个结论：

给你一个矩阵，把他化为阶梯形，数一下阶梯的行数，有几行矩阵的秩就是几。

从这里，还可以得到一个结论：

矩阵的秩的本质就是：给你一个方程组，其中有效的方程的个数。

矩阵的行与列

仍以上面方程组为例

{x1−2x2−x3+3x4=12x1−4x2+x3=5x1−2x2+2x3−3x4=4...(3.5)\left\{\begin{aligned} &x_1-2 x_2-x_3+3 x_4 & =1 \\ &2 x_1-4 x_2+x_3 & =5 \\ &x_1-2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =4 \end{aligned} \right. ...(3.5)

前面介绍过分块矩阵，把矩阵按照一列列进行分块，则可以表示为

x1[121]+x2[−2−4−2]+x3[−112]+x4[30−3]=[154]...(3.6)x_1 \left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right] +x_2 \left[\begin{array}{l} -2 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right] ...(3.6)

把3.6 等号两端都取转置并考虑xix_i是一个数以及转置后的线性运算就得到

x1[121]+x2[−2−4−2]+x3[−112]+x4[30−3]=[154]...(3.7)x_1 \left[\begin{array}{l}1 \quad 2 \quad 1\end{array}\right] +x_2 \left[\begin{array}{l}-2 \quad -4 \quad -2 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{r} -1 \quad 1 \quad 2 \end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{r}3 \quad 0 \quad -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1 \quad 5\quad 4\end{array}\right] ...(3.7)

从上面可以看到(3.5),(3.6),(3.7) 本质是一样的，(3.6)按列的处理方式方便人脑的思考，而(3.7)按行的处理方式方便电脑的计算。所以，很多行的性质和列的性质都是通用的

矩阵秩的定义

定义1：在 m×nm \times n 矩阵 AA 中，任取 kk 行与 kk 列 (k≤m,k≤n)(k \leq m, k \leq n) ，位于这些行列交叉处的 k2k^2 个元 素，不改变它们在 AA 中所处的位置次序而得的 kk 阶行列式，称为矩阵 AA 的 kk 阶子式。

定义2 m×nm \times n 矩阵 AA 中的 kk 阶子式共有 Cmk⋅CnkC_m^k \cdot C_n^k 个.

定义3 设在矩阵 AA 中有一个不等于 0 的 rr 阶子式 D1D_1 且所有 r+1r+1 阶子式 (如果存在的话)全等于 0 ，那么 DD 称为矩阵 AA 的最高阶非零子式，数 rr 称为矩阵 AA 的秩，记作 R(A)R(A)

并规定：零矩阵的秩等于 0.

由行列式按行（列）展开的性质可知，若 AA 的所有 r+1r+1 阶子式全等于零，则所有高于 r+1r+1 阶的子式也全为 0 ，因此， rr 阶非零子式 DD 被称为最高阶非零子式， 而矩阵 AA 的秩 R(A)R(\boldsymbol{A}) 就是非零子式的最高阶数. 由此可得，若矩阵 A\boldsymbol{A} 中有某个 kk 阶子式不为 0 ，则 R(A)≥kR(\boldsymbol{A}) \geq k 若矩阵 A\boldsymbol{A} 中所有 kk 阶子式全为 0 ，则 R(A)<kR(\boldsymbol{A})<k. 对于 nn 阶矩阵 AA 因为 AA 的 nn 阶子式只有一个 ∣A∣|\boldsymbol{A}| ， 所以，当 ∣A∣≠0|A| \neq 0 时， R(A)=nR(A)=n ， 当 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}|=0 时， R(A)<nR(\boldsymbol{A})<n 从而可逆矩阵的秩等于它的阶数，而不可逆矩阵的秩小于它 的阶数. 因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵.

矩阵秩的性质

性质 设矩阵 Am×n\boldsymbol{A}_{m \times n} ，则 （1）矩阵 A\boldsymbol{A} 的秩是唯一的． （2） 0⩽r(A)⩽min⁡{m,n}0 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant \min \{m, n\} ． （3）设 A1\boldsymbol{A}_1 是 A\boldsymbol{A} 的一个部分矩阵，则 r(A1)⩽r(A)r\left(\boldsymbol{A}_1\right) \leqslant r(\boldsymbol{A}) ． （4）若 A\boldsymbol{A} 中存在 rr 阶子式不为零，则 r(A)⩾rr(\boldsymbol{A}) \geqslant r ；若 A\boldsymbol{A} 中所有 rr 阶子式全为零，则 r(A)<rr(\boldsymbol{A})<r ． （5）r(AT)=r(A)r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=r(\boldsymbol{A}) ． （6）r(kA)={r(A),k≠0,0,k=0.r(k \boldsymbol{A})=\left\{\begin{array}{cc}r(\boldsymbol{A}), & k \neq 0, \\ 0, & k=0 .\end{array}\right. （7）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数． （8）可逆矩阵的秩等于它的阶数．

矩阵秩的求法

例 求矩阵A的秩

A=[11−14213001−58]A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 8 \end{array}\right]

解：将矩阵A化为行的阶梯矩阵有，

A=[11−14213001−58]→[11−140−15−801−58]A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 8 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & -1 & 5 & -8 \\ 0 & 1 & -5 & 8 \end{array}\right]

得

A=[11−1401−580000]A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

因为阶梯一共2层，所以R(A)=2R(A)=2

例 设矩阵 A4×3\boldsymbol{A}_{4 \times 3} ，且 r(A)=2,B=(102020−103)r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right) ，求 r(AB)r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) ．

解：因为 ∣B∣=2∣12−13∣=2×5=10≠0|\boldsymbol{B}|=2\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right|=2 \times 5=10 \neq 0 ．所以 B\boldsymbol{B} 可逆，从而 r(AB)=r(A)=2r(\boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})=2 ．

方程的解

定理1 m×n m \times n 的线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b} ，其增广矩阵为 A~=\widetilde{\boldsymbol{A}}= （ AbA \quad b ）．则线性方程组有解的充分必要条件为线性方程组的系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 r(A)=r(A~)r(\boldsymbol{A})=r(\tilde{\boldsymbol{A}}) ，且 （1）r(A)=r(A~)=nr(\boldsymbol{A})=r(\widetilde{\boldsymbol{A}})=n ，原方程组有唯一解； （2）r(A)=r(A~)<nr(\boldsymbol{A})=r(\tilde{\boldsymbol{A}})<n ，原方程组有无穷多解； （3）r(A)<r(A~)r(\boldsymbol{A})<r(\tilde{\boldsymbol{A}}) ，原方程组无解．

定理2 m×n m \times n 的齐次线性方程组 Ax=0A x=0 ，则 （1）齐次线性方程组有唯一零解的充分必要条件为 r(A)=nr(\boldsymbol{A})=n ； （2）齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解的充分必要条件为 r(A)<nr(\boldsymbol{A})<n ； （3）如果 m<nm<n ，则齐次线性方程组必有非零解； （4）当 m=nm=n 时，齐次线性方程组有唯一零解的充分必要条件为 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0 ，有非零解的充分必要条件为 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}|=0 ．

上面得到了如下这个阶梯形矩阵，我们继续化简

[1−2−131001−2100000]\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

我们通过把第二行加到第一行来把它化简（只能从下往上运算）： 图片{width=300px} 这样就化为“行最简形矩阵”

相应的简化方程组为

{x1−2x2+x4=2x3−2x4=10=0\left\{ \begin{aligned} &x_1 -2 x_2 & +x_4 & =2 \\ & & x_3-2 x_4 & =1 \\ & & 0 & =0 \end{aligned} \right.

首非零元为 1 在第 1 列和第 3 列，所以对应的变量 x1x_1 和 x3x_3 被称为首变量（主要的变量），因为矩阵是行最简阶梯形，所以这些方程可以用系数非1变量 x2x_2 和 x4x_4 来解首变量，即把 x2, x4x_2, ~ x_4 看成自由变量。更准确地说，在这个例子中，我们设 x2=C1x_2= C_1 和 x4=C2x_4= C_2 ，其中 C1C_1 和 C2C_2 是任意的，所以这些方程变成

{x1−2C1+C2=2x3−2C2=1\left\{ \begin{array}{r} x_1-2 C_1+C_2=2 \\ x_3-2 C_2=1 \end{array} \right.

最后方程组的解用参数,用 C1,C2C_1,C_2 表示

{x1=2+2C1−C2x2=C1x3=1+2C2x4=C2\left\{ \begin{aligned} & x_1=2+2 C_1-C_2 \\ & x_2=C_1 \\ & x_3=1+2 C_2 \\ & x_4=C_2 \end{aligned} \right.

由于 C1,C2C_1, C_2 是任意数，所以这个方程组有无穷解

解线性方程组

对于 nn 元线性方程组 {a1x1+a2x2+⋯+a1x1x1=b1,a2a1a2+⋯+⋯+a2xn=b2,amx1+am2x2+⋯+am,xn=bm,\left\{\begin{array}{l}a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_1 x_1 x_1=b_1, \\ a_2 a_1 a_2+\cdots+\cdots+a_2 x_n=b_2, \\ a_m x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m, x_n}=b_m,\end{array}\right. ，

如果 bi(i=1,2,⋯ ,m)b_i(i=1,2, \cdots, m) 全为零，则该线性方程组称为 nn 元齐次线性方程组.

如果 bi(i=1,2,⋯ ,m)b_i(i=1,2, \cdots, m) 不全为零，则该线性方程组称为 nn 元非齐次线性方程组. 显然，齐次线性方程组一定有解 x1=x2=⋯=xn=0x_1=x_2=\cdots=x_n=0 ，这个解称为齐次线性方程组的零解. 如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解. 当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解.

对于方程组系数组成的矩阵称为方程的系数矩阵，如果矩阵包含右边常数项，则成为方程的增广矩阵

解方程的步骤

解nn元非齐次线性方程组

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯+⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots+\cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right.

的具体步骤为

01写出线性方程组的增广矩阵 A~\tilde{A}; 02 对 A~\tilde{A} 实施初等行变换，化为行最简形矩阵 R~\tilde{R}; 03 写出以 R~\tilde{R} 为增广矩阵的线性方程组； 04 以首元为系数的末知量作为固定末知量，留在等号的左边，其余的末知量作 为自由末知量，移到等号右边，并令自由末知量为任意常数，从而求得线性 方程组的解.

例解方程组

{x1−x2+2x3−2x4=1,x2+x3+2x4=−1,2x1−x2+5x3−2x4=1x1−x2−4x4=3.\left\{\begin{array}{r} x_1-x_2+2 x_3-2 x_4=1, \\ x_2+x_3+2 x_4=-1, \\ 2 x_1-x_2+5 x_3-2 x_4=1 \\ x_1-x_2-4 x_4=3 . \end{array}\right.

对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，

A~=(1−12−210112−12−15−211−10−43)⟶r4+(−1)r1r3+(−2)1(1−12−210112−10112−100−2−22)⟶−12r4r3+(−1)r2(1−12−210112−1000000011−1)\tilde{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -4 & 3 \end{array}\right) \stackrel{r_3+(-2)_1}{\stackrel{r_4+(-1) r_1}{\longrightarrow}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 2 \end{array}\right) \stackrel{ r_3+(-1) r_2} {\stackrel{ -\frac{1}{2} r_4 }{\longrightarrow}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)
⟶r3↔r4(1−12−210112−10011−100000)⟶r2+(−1)r3(1−10−43010100011−100000)⟶r1+(−2)r3(100−33010100011−100000)\stackrel{r_3 \leftrightarrow r_4}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_2+(-1)_{r_3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_1+(-2) r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

从而原方程组等价于 {x1−3x4=3,x2+x4=0,x3+x4=−1,0=0.\left\{\begin{array}{cr}x_1 & -3 x_4=3, \\ & x_2 \\ & +x_4=0, \\ & x_3+x_4=-1, \\ & 0=0 .\end{array}\right. 令 x4=cx_4=c ，移项， 得原方程组的解为：{x1=3+3c,x2=−c,x3=−1−c,x4=c\left\{\begin{array}{l}x_1=3+3 c, \\ x_2=-c, \\ x_3=-1-c, \\ x_4=c\end{array}\right., 其中 cc 为任意常数

例解方程组

{x1+x2−2x3=1,3x1+8x2+x3=−2,7x1+2x2−21x3=13.\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2-2 x_3=1, \\ 3 x_1+8 x_2+x_3=-2, \\ 7 x_1+2 x_2-21 x_3=13 . \end{array}\right.

解：对方程进行增广矩阵变换得到

A~=(11−21381−272−2113)→r3+(−7)r1r2+(−3)r1(11−21057−50−5−76)→r3+r2(11−21057−50001),\tilde{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 & -2 \\ 7 & 2 & -21 & 13 \end{array}\right) \xrightarrow[r_3+(-7) r_1]{r_2+(-3) r_1}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 7 & -5 \\ 0 & -5 & -7 & 6 \end{array}\right) \xrightarrow{r_3+r_2}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),

从而原方程等价于

={x1+x2−2x3=15x2+7x3=−50=1=\left\{\begin{aligned} x_1+x_2-2 x_3 & =1 \\ 5 x_2+7 x_3 & =-5 \\ 0 & =1 \end{aligned}\right.

最后一个方程矛盾，所以原方程无解。

例 解线性方程组 {3x1+2x2+5x3=0,3x1−2x2+6x3=0,2x1+5x3=0.\left\{\begin{array}{r}3 x_1+2 x_2+5 x_3=0, \\ 3 x_1-2 x_2+6 x_3=0, \\ 2 x_1+5 x_3=0 .\end{array}\right.

解 对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得：

(3253−26205)→r1↔r3(2053−26325)→r3+(−1)r212r1(10523−2604−1)→r2+(−3)r1(10520−2−3204−1)\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 5 \\ 3 & -2 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_3}\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 3 & -2 & 6 \\ 3 & 2 & 5 \end{array}\right) \xrightarrow[r_3+(-1) r_2]{\frac{1}{2} r_1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 3 & -2 & 6 \\ 0 & 4 & -1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2+(-3) r_1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & -2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 4 & -1 \end{array}\right)
→r3+2r2(10520−2−3200−4)→r1+58r3r2+(−38)r3(1000−2000−4)→(−14)r3(−12)r2(100010001),\xrightarrow{r_3+2 r_2}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & -2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow[\substack{r_1+\frac{5}{8} r_3 \\ r_2+\left(-\frac{3}{8}\right) r_3}]{ }\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow[\left(-\frac{1}{4}\right) r_3]{\left(-\frac{1}{2}\right) r_2}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),

所以方程组只有零解。

例 解方程组

{x1+x2−2x3+x4=02x1−x2−x3+x4=03x1+6x2−9x3+7x4=04x1−6x2+2x3−2x4=0\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2-2 x_3+x_4=0 \\ 2 x_1-x_2-x_3+x_4=0 \\ 3 x_1+6 x_2-9 x_3+7 x_4=0 \\ 4 x_1-6 x_2+2 x_3-2 x_4=0 \end{array}\right.

解 对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得：

(11−212−1−1136−974−62−2)→r4+(−4)r1r2+(−2)r1r2+(−2)r4(11−210−33−103−340−1010−6)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & -9 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & -2 \end{array}\right) \xrightarrow[\substack{r_4+(-4) r_1 \\ r_2+(-2) r_1}]{\substack{r_2+(-2) \\ r_4}}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 4 \\ 0 & -10 & 10 & -6 \end{array}\right)
(11−210−33−100030−1010−6)→3313r4+2r3(11−210−33−100010−10100)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & -10 & 10 & -6 \end{array}\right) \xrightarrow[\frac{3}{3}^{\frac{1}{3}}]{r_4+2 r_3}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -10 & 10 & 0 \end{array}\right)
(11−2001−1000010000)→r1+(−1)r2(10−1001−1000010000)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{r_1+(-1) r_2}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

从而原方程组等价于 {x1−x3=0,x2−x3=0,x4=0.\left\{\begin{array}{l}x_1-x_3=0, \\ x_2-x_3=0, \\ x_4=0 .\end{array}\right. 令 x3=cx_3=c ，移项，得原方程组的解为：{x1=c,x2=c,x3=c,x4=0.\left\{\begin{array}{l}x_1=c, \\ x_2=c, \\ x_3=c, \\ x_4=0 .\end{array}\right. 其中 cc 为任意常数．

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