6._矩阵乘法_行视角 - 线性代数

行视角理解矩阵乘法

想象我们是一家餐厅，使用三种原材料 水、面粉和调料 可以制作四种食物：面条、馒头、糕点和饼

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每种食物的配方是不同的，例如如下

10*水+3*面粉+2*调料=面条
5*水+3*面粉+0.5*调料=馒头
7*水+4*面粉+10*调料=糕点
4*水+1.5*面粉+4*调料=饼

现在我们先考虑比较简单的情况：我们生成一种食物（面条），但是有两个餐馆，每个餐馆对原料的价格并不相同，即有

\left[ \begin{array}{l} 10 & 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 0.3 \\ 5 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 31 & 16 \end{array} \right]

我们看一下矩阵乘积的现实意义：有一个产品，并且有2个餐厅（每种原料不同价格不同），矩阵乘法的结果是分别得到两个餐厅的原料价格。

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如果我们制作不止一个食品，因此把食品从一个变更为四个，毫无疑问矩阵乘积的结果也将变成四行，每行对应一个产品在每个餐厅的成本，更具体的说，对不同的餐厅而言，三种原料的价格是不同的，第一个餐厅三种原料的价格分别是1,5,3，第二个餐厅三种原料的价格分别是0.3, 3, 2。于是有了下面的等式：

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比如我们看面条在第一个餐厅原料价格就是： $10*1+3*5+2*3=31$ ，面条在第二个餐厅原料价格就是： $10*0.3+3*3+2*2=16$ ，馒头在第一个餐厅的成本是21.5，在第二个餐厅成本价格是11.5，以此类推，最终形成了结果矩阵。

我们能够感觉到：上面的计算矩阵的结果是总价，因此是降维的。换句话说，原料消失了变成了食物，比如一个三维空间球体投影到平面上变成了椭圆，这就是维度降低

矩阵左乘行向量，向量对矩阵的行进行线性组合，结果向量位于矩阵的行空间

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左侧的向量可以延展为一个由若干行所组成的矩阵，每一行乘以右边的矩阵，得到结果矩阵中的一行。

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设有方程

\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n \end{array}\right.

则方程可以写成

\left[ \begin{array}{l} x_1 & x_2 ... & x_n \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{n1} & a_{n2} ... & a_{nn} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} b_1 & b_2 ... & b_n \end{array} \right]

这种记法用的并不是很多，我们一直说过，矩阵行视角其实并不方便人类大脑的思考。在上面这种记法可以进行转置处理，转换为列向量

因为 $XA=B$ , 如果两边取转置就有 $A^TX^T=B^T$ ，这样就把行向量转换为列向量，又回到了我们熟悉的列模式了。在逆矩阵求解方程组里，我们就是这么干的。

考虑下面2个矩阵相乘

\left[ \begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 1 & 2\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 6 \\ 12 \end{array} \right]

可以发现，原本3维的行向量经过矩阵乘法后变成了2维的列向量，因此采用行视角，可以简单理解为对向量进行升维或者将维