7._矩阵乘法_矩阵左乘 - 线性代数

矩阵左乘是行变换

下面例子演示了左乘的意思，对于 $A \times B=C$ ,以 $B$ 为静止的参照物

\left[ \begin{array}{l} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{l} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array} \right ] = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 14 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}

从结果看,可以得到一个结论：

一个矩阵 $B$ 左乘一个矩阵 $A$ ，相当于对矩阵 $B$ 行进行了行变换。

记忆口诀：左乘是行变换，右乘是列变换

$图片$

1. 第一个例子

考虑 $M_1 \times B$

M_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

左乘 $B$ ：

第 1 行变成 $2 \times (\text{第1行 of }B)$
第 2 行不变
第 3 行不变

这是对 $B$ 的 行1 缩放 2 倍。

2. 第二个例子

考虑 $M_2 \times B$

M_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

左乘 $B$ ：

新第 1 行 = $2 \times \text{row1} + 3 \times \text{row2}$
第 2、3 行不变

这是 行1 ← 2×行1 + 3×行2 的行线性组合。

3. 第三个例子

考虑 $M_3 \times B$

M_3 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

左乘 $B$ ：

新第 1 行 = $2 \times \text{row1}$
新第 2 行 = $3 \times \text{row1} + 1 \times \text{row2}$
第 3 行不变

这是 行1 缩放 与 行2 替换为 3×行1 + 行2。

4. 第四个例子

$A \times B=C$ ：

\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 14 \\ 5 & 17 & 29 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}

第1行 = $2 \times$ (B的第1行)
第2行 = $3 \times$ (B的第1行) $+ 1 \times$ (B的第2行)
第3行 = B的第3行（不变）

求逆矩阵

因为这个关系，给你一个矩阵 $A$ ，如果 $A$ 可逆，那么通过初等行变换总能变成单位矩阵 $E$ ,写成矩阵乘法就是：

P_k...P_3P_2P_1 \cdot A=E

进一步的，因为 $A^{-1} \cdot A=E$ , 所以

A^{-1}= P_k...P_3P_2P_1

从上面可以得到逆矩阵的求法，

给你一个矩阵 $A$ ，把他和单位矩阵 $E$ 进行合并，然后使用行变换，左边化成 $E$ ,则右边就是 $A^{-1}$

即

(A:E) \to (E:A^{-1})

具体解释清参考逆矩阵，他也是 $AX=B$ 方差的标准解法，见逆矩阵解方程

矩阵左乘向量相当于改变观察视角（基变换）

考虑下面2个矩阵乘法，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{cc}1 \\1 \end{array}\right)$ 变换成了 $\beta=\left(\begin{array}{cc}0 \\2 \end{array}\right)$

我们就说矩阵 $A$ 作用在向量 $\alpha$ 上，使得 $\alpha$ 发生了伸缩和旋转变成了向量 $\beta$

\underbrace{\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)}_{\boldsymbol{A}} \underbrace{\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array}\right)}_{\boldsymbol{a}}=\underbrace{\left(\begin{array}{cc} 0 \\ 2 \end{array}\right)}_{\boldsymbol{b}}

参考下图

$图片$

你可以这么理解：我在 $A$ 空间里看到一个向量 $\alpha$ 换一个视角看他（笛卡尔坐标系），他变成了向量 $\beta$ ，向量还是那个向量，因为观测角度不同，得到的向量就不通。

从物理上理解，在太空里有一个向量，我在地球上观察他是禁止的，但是如果我做飞船观察他，他是运动，造成这种不同的原因是我观察参照物变了。

矩阵左乘向量图解

\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{lll} x_1 & x_2 & x_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{lll} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] } &+x_3\left[\begin{array}{lll} a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right] \end{aligned}

观察上式，用 $x$ 行向量左乘矩阵 $A$ ，相当于对矩阵 $A$ 中的行向量做线性组合，线性组合的系数就是行向量 $x$ 中的每个对应位置的元素。

$img-text$

矩阵右乘

\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{l} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{array}\right]

观察上式，不难发现，矩阵 $A$ 右乘向量 $x$ 中的列向量 相当于对矩阵 $A$ 的列做线性组合。

$img-text$

由此的下面定理

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，对 $A$ 进行一次初等行变换相当于在 $A$ 的左边乘一个相应类型的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 进行一次初等列变换相当于在 $A$ 的右边乘一个相应类型的 $n$ 阶初等矩阵．

矩阵乘以对角矩阵

右乘对角矩阵 矩阵右乘对角矩阵相当于对列乘积相应的倍数 $img-text$

左乘对角矩阵 矩阵左乘对角矩阵相当于对行乘积相应的倍数 $图片$

矩阵乘以对角矩阵和列向量 这种也可以看成列的组合。 $图片$